Método de la transformada inversa

Método de la transformada inversa

El método de la transformada (o transformación) inversa, también conocido como método de la inversa de la transformada, es un método para la generación de números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se conoce la inversa de su función de distribución (cdf). Este método es en general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una expresión analítica de la inversa para algunas distribuciones de probabilidad. El método de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general, es más eficiente desde el punto de vista computacional.

El método se utiliza para simular valores de las distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y Weibull.

Contenido

Obtención del método

El método de la transformada inversa se basa en el siguiente teorema:

Teorema de inversión. Sea X una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad acumulada F, continua e invertible, y sea F − 1 su función inversa. Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribución uniforme en (0;1). Como consecuencia, si U es una variable aleatoria uniforme en (0;1) entonces la variable aleatoria X = F − 1(U) satisface la distribución F.

El método

El problema que resuelve el método de la transformada inversa es el siguiente:

  • Sea X una variable aleatoria cuya distribución puede ser descrita por la cdf F.
  • Se desea generar valores de X que están distribuidos según dicha distribución.

Numerosos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar números pseudo-aleatorios que se encuentran distribuidos de acuerdo con una distribución uniforme standard. Si una variable aleatoria posee ese tipo de distribución, entonces la probabilidad de que el número caiga dentro de cualquier subintervalo (a, b) del intervalo entre 0 a 1 es la longitud del subintervalo, o sea b − a.

El método de la transformada inversa funciona de la siguiente manera:

  1. Se genera un número aleatorio a partir de la distribución uniforme standard; se lo llama u.
  2. Se calcula el valor x tal que F(x) = u; y se lo llama xelegido.
  3. Se toma xelegido como el número aleatorio extraído de la distribución caracterizada por F.

Demostración del teorema

Sea

F^{-1}(u) = \inf\;\{x \mid F(x)=u, 0<u<1\}

\Pr(F^{-1}(U) \leq x) \!

= \Pr(\inf\;\{x \mid F(x)=U\} \leq x) \!    (por definición de F − 1)
= \Pr(U \leq F(x)) \!    (aplicando F, que es monótona, a ambos lados)
= F(x) \!    (porque \Pr(U \leq y) = y, dado que U es uniforme en el intervalo unitario)

Véase también

  • Cópula, definida por medio de una transformación de integral de probabilidad.

Referencias


Enlaces externos


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