Anillo ordenado

Anillo ordenado

Anillo ordenado

Definiciones

En álgebra abstracta, un anillo ordenado es un anillo conmutativo R con un orden total \leq tal que

  • si a\leq b y c\in R, entonces a+c \leq b+c
  • si 0 \leq a y 0\leq b, entonces 0 \leq ab

Los anillos ordenados son propios de la aritmética. Algunos ejemplos incluyen los enteros, los racionales y los reales. (Los racionales y los reales son, de hecho, cuerpos ordenados). Por otra banda, los números complejos no forman un anillo ordenado (o cuerpo).

Análogamente con los números ordinarios, decimos que un elemento c de un anillo ordenado es positivo si 0\leq c, c\neq 0 y negativo si c\leq 0, c\neq0. El conjunto de los elementos positivos en un anillo R suele ser denotado por R + .

Si a es un elemento de un anillo ordenado R, entonces el valor absoluto de a, denotado por | a | , se define de la siguiente forma:

|a| := \begin{cases} a, & \mbox{si }  0 \leq a  \\ -a,  & \mbox{en otro caso} \end{cases}

donde a es el opuesto de a y 0 es el elemento neutro.

Propiedades básicas

  • Si a\leq b y 0\leq c, entonces ac\leq bc. Esta propiedad, a veces, se utiliza para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición de más arriba.
  • Si a,b \in R, entonces | ab | = | a | | b | .
  • Un anillo ordenado no trivial es infinito.
  • Si a\in R, entonces o a\in R_+, o -a \in R_+, o a=0\,. Esta propiedad se deriva del hecho que los anillos ordenados son abelianos, con orden total respecto la suma.
  • Un anillo ordenado R no tiene divisores de cero si y solo si R + es cerrado respecto el producto, es decir, ab es positivo si ambos a y b son positivos.
Obtenido de "Anillo ordenado"

Wikimedia foundation. 2010.

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