Orden (teoría de grupos)

Orden (teoría de grupos)

En la teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas, el término orden se utiliza en dos sentidos estrechamente relacionados:

  • El orden de un grupo es su cardinalidad, es decir, el número de sus elementos;
  • El orden, a veces período, de un elemento a de un grupo es el más pequeño entero positivo m tal que un am =e (donde e denota el elemento identidad del grupo, y am denota el producto de m copias de a). Si no existe tal m, decimos que a tiene un orden infinito. Todos los elementos de un grupo finito tiene un orden finito. En otras palabras el orden de un elemento, es la menor cantidad de veces que se necesita operar es elemento con el mismo, hasta obtener el elemento neutro.

Denotamos el orden de un grupo G por ord(G) o | G | y el de un elemento a \in G por ord(a) o | a | .

Orden y estructura

Si el orden del grupo G es 1, entonces el grupo se denomina grupo trivial. Dado un elemento a, ord(a) = 1 si y solo si a es la identidad. Si un elemento de G tiene orden 2 entonces es igual a su inverso. Si todos los elementos del grupo tienen orden 2 el grupo resulta abeliano dado que:

ab = (bb)ab(aa)
     = b(ba)(ba)a
     = ba

Si G es un grupo y a es un elemento del mismo, se denota \langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \} el subgrupo generado por a. Entonces el orden del elemento a es igual al orden del subgrupo \langle a \rangle .

En el caso que \operatorname{ord}(a)=n \in\mathbb{N} es finito, el subgrupo \langle a \rangle nos queda isomorfo a \mathbb{Z}_n. Cuando el orden de a es finito, obtenemos que \langle a \rangle es isomorfo a \mathbb{Z}.

Ejemplos

Sea el grupo G = {1,-1,i,-i}, con la operación multiplicación de complejos. Entonces se pueden obtener los siguientes órdenes:

  • El orden del grupo completo es 4, ya que el grupo está formado por cuatro elemento. O sea, ord (G) = 4.
  • El orden del elemento 1 es 1, o sea, ord (1) = 1.
  • El orden del elemento 1 es 2, o sea, ord (-1)= 2, puesto que (-1)·(-1)=1.
  • El orden del elemento i es 4, o sea, ord (i) = 4, puesto que = i·i·i·i = (-1)·i·i = (-1)·(-1) = 1.
  • El orden del elemento -i es 4, o sea, ord (-i)= 4, puesto que (-i)·(-i)·(-i)·(-i) = (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·i·i·i·i = 1·1·i·i·i·i = 1.


Sea   G=\mathbb{Z}_n   el grupo formado por las clases de equivalencia módulo n, donde la operación del grupo es la suma. Entonces el orden de cualquier elemento k ≠ 0 es n/d, donde d es el máximo común divisor entre n y k.

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

  • Teoría de grupos — Diagrama de Cayley del grupo libre de orden dos. En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus… …   Wikipedia Español

  • Índice (Teoría de grupos) — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

  • Teorema de Lagrange (teoría de grupos) — En la teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito G con el orden de cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente, afirma que si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G,… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Cauchy (teoría de grupos) — El Teorema de Cauchy es un caso particular de los Teoremas de Sylow, este afirma que para todo grupo fínito G, si existe un primo p tal que p|o(G), (p divide al orden del grupo g, donde el orden del grupo es el número de elementos de G), entonces …   Wikipedia Español

  • Orden multiplicativo — En teoría de números, dado un número entero a y un entero positivo n coprimo con a (es decir, tal que mcd(a,n) = 1), el orden multiplicativo de a módulo n es el menor entero positivo k que cumple ak ≡ 1 (módulo n). El orden de a (mód n) se suele… …   Wikipedia Español

  • Teoría geométrica de grupos — La teoría geométrica de grupos es un área de las matemáticas que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades topológicas o geométricas de los espacios …   Wikipedia Español

  • Teoría de Galois — Évariste Galois (1811–1832) En matemáticas, la teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos. La teoría de Galois tiene aplicación a diversos problemas de la teoría de cuerpos, que… …   Wikipedia Español

  • Teoría — (Del gr. theoria, contemplación.) ► sustantivo femenino 1 Conjunto organizado de ideas o leyes que sirven para explicar determinado orden de fenómenos: ■ defiende la teoría del big bang . SINÓNIMO doctrina 2 Conocimiento especulativo considerado… …   Enciclopedia Universal

  • Teoría cuántica de campos — Dispersión de neutrones. La dispersión inelástica de …   Wikipedia Español

  • Orden (desambiguación) — Orden puede adqurir varios significados en diferentes disciplinas. Puede referirse a: Contenido 1 Teoría de sistemas 2 Criterios de ordenación 3 Significados en diferentes ciencias 3.1 …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”