Orden (teoría de grupos)

Orden (teoría de grupos)

En la teoría de grupos, una de las ramas de las matemáticas, el término orden se utiliza en dos sentidos estrechamente relacionados:

  • El orden de un grupo es su cardinalidad, es decir, el número de sus elementos;
  • El orden, a veces período, de un elemento a de un grupo es el más pequeño entero positivo m tal que un am =e (donde e denota el elemento identidad del grupo, y am denota el producto de m copias de a). Si no existe tal m, decimos que a tiene un orden infinito. Todos los elementos de un grupo finito tiene un orden finito. En otras palabras el orden de un elemento, es la menor cantidad de veces que se necesita operar es elemento con el mismo, hasta obtener el elemento neutro.

Denotamos el orden de un grupo G por ord(G) o | G | y el de un elemento a \in G por ord(a) o | a | .

Orden y estructura

Si el orden del grupo G es 1, entonces el grupo se denomina grupo trivial. Dado un elemento a, ord(a) = 1 si y solo si a es la identidad. Si un elemento de G tiene orden 2 entonces es igual a su inverso. Si todos los elementos del grupo tienen orden 2 el grupo resulta abeliano dado que:

ab = (bb)ab(aa)
     = b(ba)(ba)a
     = ba

Si G es un grupo y a es un elemento del mismo, se denota \langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \} el subgrupo generado por a. Entonces el orden del elemento a es igual al orden del subgrupo \langle a \rangle .

En el caso que \operatorname{ord}(a)=n \in\mathbb{N} es finito, el subgrupo \langle a \rangle nos queda isomorfo a \mathbb{Z}_n. Cuando el orden de a es finito, obtenemos que \langle a \rangle es isomorfo a \mathbb{Z}.

Ejemplos

Sea el grupo G = {1,-1,i,-i}, con la operación multiplicación de complejos. Entonces se pueden obtener los siguientes órdenes:

  • El orden del grupo completo es 4, ya que el grupo está formado por cuatro elemento. O sea, ord (G) = 4.
  • El orden del elemento 1 es 1, o sea, ord (1) = 1.
  • El orden del elemento 1 es 2, o sea, ord (-1)= 2, puesto que (-1)·(-1)=1.
  • El orden del elemento i es 4, o sea, ord (i) = 4, puesto que = i·i·i·i = (-1)·i·i = (-1)·(-1) = 1.
  • El orden del elemento -i es 4, o sea, ord (-i)= 4, puesto que (-i)·(-i)·(-i)·(-i) = (-1)·(-1)·(-1)·(-1)·i·i·i·i = 1·1·i·i·i·i = 1.


Sea   G=\mathbb{Z}_n   el grupo formado por las clases de equivalencia módulo n, donde la operación del grupo es la suma. Entonces el orden de cualquier elemento k ≠ 0 es n/d, donde d es el máximo común divisor entre n y k.

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

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