Catenaria

Catenaria

Catenaria

Catenarias
Para el sistema de electrificación de alta potencia de los ferrocarriles, véase Catenaria (ferrocarril).

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus (propio de la cadena). Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la catenaria es la tractriz.

Contenido

Historia

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria.

La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

Descripción

La ecuación de la catenaria, tomando su mínimo en el punto (0,a) es:

y = a \, \cosh \left ({x \over a} \right ) = {a \over 2} \, \left (e^{x/a} + e^{-x/a} \right )

,

a =\left(\frac{T_o}{P}\right) \,\!

T_o \,\! es la componente horizontal de la tensión, que es constante, P es el peso por unidad de longitud del hilo y cosh la función coseno hiperbólico.

Si se desarrolla en series de Taylor la función cosh(x) \,\!, se obtiene:

cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + O^4(x) \,\!

Esto corresponde a la ecuación de una parábola más un término de cuarto orden. Es por este motivo que las gráficas son tan parecidas en el entorno de cero.

Relaciones importantes

La longitud del arco, con el origen de arco en el mínimo es:

l = a \cdot \sinh\left(\frac{x}{a}\right) \,\!

La tensión total del hilo es

T =\sqrt{T_o^2 + T_y^2} \,\!
T = P \cdot y \,\!

Aplicaciones

Las columnas de la Sagrada Familia de Barcelona siguen una catenaria.

Una curva catenaria invertida es un trazado útil para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Antoni Gaudí.

Véase también

Enlaces externos

Obtenido de "Catenaria"

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