Teorema de la altura

Teorema de la altura

En matemáticas, el teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1)

En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

\frac{h}{n} = \frac{m}{h}
Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por hn se tiene:

h^2=m\,n \,

por lo que

(1) h=\sqrt{m\,n}

Otra forma del mismo teorema

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

m=\frac{b^2}{a} \,    ;    n=\frac{c^2}{a} \,

(h2) h=\sqrt{m\,n}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a :

(h3) h=\frac{b\,c}{a}

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema :

Teorema de la altura (forma 2)

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Véase también


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