Vector (matemática)

Vector (matemática)

Vector (matemática)

Para otros usos de este término, véase vector.

En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que es representada gráficamente con una flecha y esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.

Así, se llama vector de dimension n a una tupla de n números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa como \mathbb{R}^n (formado mediante el producto cartesiano).

v \in \mathbb{R}^n

v = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n)

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional \mathbb{R}^3 ó bidimensional \mathbb{R}^2).

Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

  • dirección: la de la recta que lo contiene
  • sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha
  • módulo: la longitud del segmento

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen y extremo respectivamente. (AB) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \,

Contenido

Suma de vectores

La suma ó adición de vectores es una operación interna.

+: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

Dados dos vectores, a, b \in \mathbb{R}^n. a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) y b = (b_1, b_2, b_3, \dots, b_n). Se define la suma como:

a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)

Producto escalar de vectores

El producto escalar de vectores es una operación externa.

+: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

Dados dos vectores, a, b \in \mathbb{R}^n. a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) y b = (b_1, b_2, b_3, \dots, b_n).

Se representa mediante un punto y se define como:

\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta

También lo podemos expresar a partir de sus coordenadas como:

\vec{A}\cdot\vec{B}=(a_1, a_2, a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar por un vector es una operación externa.

\cdot: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

El producto de un número escalar cualquiera \lambda \in \mathbb{R} por un vector a \in \mathbb{R}^n; a = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) se define como:

\lambda \cdot a = \lambda \cdot (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3, \dots, \lambda a_n)

Propiedades fundamentales

\forall a, b, c \in \mathbb{R}^n \and \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}

  • Propiedad Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
  • Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
  • Elemento opuesto: a + (-a) = 0
  • Elemento neutro: a + 0 = a
  • λ(u + v) = λu + λv
  • (λ + μ)a = aλ + aμ

Véase también: Espacio vectorial.

Notación de un vector

Los vectores se representan mediante dos letras mayúsculas que desmontan el origen y el extremo de un vector, los cuales también superpuesta una flecha, también se puede señalar con una letra minúscula acompañada de una flecha en la parte superior.

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