Conjetura de Hirsch

En optimización y en combinatoria poliédrica, la conjetura de Hirsch afirma que "si un poliedro está definido por n desigualdades lineales en d variables siempre ha de ser posible viajar de cualquier vértice a cualquier otro vértice recorriendo como mucho n-d aristas".^[1] En términos un poco más técnicos, afirma que el grafo arista-vértice de un politopo de n-caras en un espacio euclidiano d-dimensional tiene un diámetro no mayor que n − d. Es decir, que cualquiera de dos vértices del politopo deben estar conectados el uno con el otro por una trayectoria de longitud n − d como máximo. La conjetura fue presentada primero en 1957 en una carta de Warren M. Hirsch a George B. Dantzig^{[2] [3]} y es motivada por el análisis del método simplex en programación lineal, a medida que el diámetro de un politopo proporciona un límite más bajo en el número de pasos necesarios por el método simplex.

La conjetura de Hirsch fue probada para d < 4 y para varios casos especiales,^[4] los límites superiores más conocidos mostraron solamente que los politopos tienen un diámetro sub-exponencial en función de n y d.^[5] sin embargo, después de más de cincuenta años, un contraejemplo fue anunciado en mayo de 2010 por Francisco Santos Leal, de la Universidad de Cantabria.^{[6] [7] [8]} el resultado debe ser presentado en la conferencia 100 Years in Seattle: The Mathematics of Klee and Grünbaum. Varias formulaciones equivalentes del problema habían sido dadas, por ejemplo la conjetura d-paso, que indica que el diámetro de cualquier politopo de 2d-caras en un espacio euclidiano d-dimensional no es mayor que d.^{[2] [9]} La conjetura de d-paso era conocida como verdadera para d < 6,^[9] pero cuando fue encontrado un contraejemplo el caso general también fue refutado, usando un politopo 43-dimensional de 86 caras con un diámetro de más de 43.^[6] El contraejemplo anunciado no tendría ninguna consecuencia directa para el análisis del método simplex, pues no eliminaría la posibilidad de un más grande pero todavía lineal o un número polinómico de pasos.

Notas

Referencias

• Dantzig, George B. (1963), Linear Programming and Extensions, Princeton Univ. Press .
• Kalai, Gil (10 de mayo de 2010). «Francisco Santos Disproves the Hirsch Conjecture». Consultado el 11 de mayo de 2010.
• Kalai, Gil; Kleitman, Daniel J. (1992), «A quasi-polynomial bound for the diameter of graphs of polyhedra», Bulletin of the American Mathematical Society 26 (2): 315–316, doi:10.1090/S0273-0979-1992-00285-9, arΧiv:math/9204233, MR1130448 .
• Klee, Victor; Walkup, David W. (1967), «The d-step conjecture for polyhedra of dimension d < 6», Acta Mathematica 133: 53–78, doi:10.1007/BF02395040, MR0206823 .
• Naddef, Denis (1989), «The Hirsch conjecture is true for (0,1)-polytopes», Mathematical Programming 45 (1): 109–110, doi:10.1007/BF01589099, MR1017214 .
• Santos, Francisco (2010), «A counter-example to the Hirsch conjecture», 100 Years in Seattle: the mathematics of Klee and Grünbaum .
• Ziegler, Günter M. (1994), «The Hirsch Conjecture», Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer-Verlag, pp. 83–93 .

Véase también

• Warren M. Hirsch
• Método simplex
• Programación lineal
• Gil Kalai
• Francisco Santos Leal