Geometría finita

Geometría finita

Una geometría finita es un sistema geométrico que tiene únicamente un número finito de puntos. Por ejemplo, la geometría euclidiana no es finita, ya que la línea de Euclides contiene infinitos puntos, de hecho posee tantos puntos como números reales. Una geometría finita puede tener cualquier número finito de dimensiones.

Las geometrías finitas pueden ser construidas mediante el álgebra lineal, como espacios vectoriales sobre un cuerpo finito, llamadas geometrías de Galois, o pueden ser definidas puramente por combinatoria. Varias de las geometrías finitas, pero no todas, son geometrías de Galois. Por ejemplo, todo espacio proyectivo finito de tres o más dimensiones es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un cuerpo finito (la proyección de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito), entonces, en este caso no hay distinción, pero en la dimensión dos hay combinatoriamente definidos planos proyectivos que no son isomorfos al espacio proyectivo sobre el cuerpo finito, nombrado los planos no desarguesianos, por lo tanto en este caso existe una distinción.

Planos Finitos

Las siguientes observaciones aplican solamente a planos finitos. Hay dos tipos de geometrías de finitos planos: afín y proyectivo. En un geometría afín, aplica el sentido común de líneas paralelas. En un plano proyectivo, en contraste, todo par de líneas se intersecan en un punto único, y por lo tanto no existen líneas paralelas. Ambos tipos de geometrías de finitos planos, afín y proyectivo, pueden ser descritas por axiomas bastante simples.

Una geometría plana afín es un conjunto no vacío X (cuyos elementos son llamados "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos son llamados "líneas"), tal que:

  1. Dados dos puntos distintos cualesquiera, existe una única línea que los contiene.
  2. El postulado de las paralelas: Dada un línea \ell y un punto p no perteneciente a \ell , existe exactamente una línea \ell que contiene a p, tal que \ell \cap \ell' = \varnothing.
  3. Todo conjunto de cuatro puntos no tiene tres puntos perteneciente a una misma línea.

El último axioma asegura que la geometría no es trivial (vacía o demasiado simple para ser interesante, tal como una línea sola con un número arbitrario número de puntos pertenecientes a ella), mientras las dos primeras especifican la naturaleza de la geometría.

Referencias

Véase también


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