Longitud de Debye

Longitud de Debye

En Física de plasmas la longitud de Debye, también llamada radio de Debye es la escala a través de la cual portadores de carga móviles —por ejemplo, electrones— generan un apantallamiento de los campos eléctricos en los plasmas y otros conductores. En otras palabras, la longitud de Debye es la distancia sobre la cual puede ocurrir una separación significativa de carga. Análogamente, una esfera de Debye es el volumen cuyo radio es una longitud de Debye, dentro de la cual existe una esfera de influencia, y fuera de la cual las cargas son «apantalladas». La longitud de Debye recibe su nombre en honor del físico y físico-químico holandés Peter Debye. La noción de la longitud de Debye juega un importante papel en la Física de plasmas, electrolitos y coloides (teoría DLVO).

Contenido

Origen físico

La longitud de Debye surge de forma natural en la descripción termodinámica de grandes sistemas que contienen cargas en movimiento. En un sistema de N diferentes especies de cargas, la j-ésima especie porta una carga qj y tiene una concentración n_j(\mathbf r) en la posición \mathbf r. De acuerdo con el llamado «modelo primitivo», estas cargas se distribuyen en un medio continuo caracterizado solamente por su permitividad relativa estática: εr. La distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico, \Phi(\mathbf{r}), que satisface la ecuación de Poisson:

\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r}),

siendo ε0 la permitividad eléctrica del vacío.

Las cargas en movimiento no solo establecen \Phi(\mathbf{r}), sino que también se mueven respondiendo a la fuerza de Coulomb asociada: \mathbf{F} = - q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r}). Si además suponemos que el sistema se encuentra en equilibrio termodinámico con un foco calórico a temperatura absoluta T, entonces las concentraciones de carga discreta, n_j(\mathbf{r}), pueden considerarse ensambles termodinámicos promedio y el potencial eléctrico asociado puede considerarse un campo medio. Con estas suposiciones, la concentración de la j-ésima especie de carga está descrita por la distribución de Boltzmann.


n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right),

donde kB es la constante de Boltzmann y n_j^0 es la concentración media de cargas de especies j. Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial instantáneo en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann, se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann:

\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right).

Se conocen soluciones para esta ecuación no lineal para algunos sistemas simples. Para sistemas más generales, se pueden obtener soluciones en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil), q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T, por medio de una expansión en serie de Taylor de la función exponencial:

\exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx 1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}.

Esta aproximación da como resultado la ecuación linearizada de Poisson-Boltzmann:

\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = \left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j,

la cual se conoce como ecuación de Debye-Hückel.[1] [2] [3] [4] [5] El segundo término del lado derecho de la ecuación desaparece en sistemas que son eléctricamente neutros. El término entre paréntesis de longitud inversa al cuadrado y conduce de manera natural a la definición de escala de longitud característica:

\lambda_D = \left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}

que es llamada comúnmente «longitud de Debye-Hückel». La longitud λD establece la escala de variaciones en el potencial y en las concentraciones de especies cargadas. Se debe hacer énfasis en que todas las especies cargadas contribuyen de igual manera a la longitud de Debye-Hückel, sin importar el signo de sus cargas.

Valores típicos

En los plasmas en el espacio, donde la densidad de electrones es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar o el medio intergaláctico (véase la tabla):[6]

Plasma Densidad
ne(m-3)		 Temperatura de electrones
T(K)		 Campo magnético
B(T)		 Longitud de Debye
λD(m)
Núcleo solar 1032 107 -- 10−11
Tokamak 1020 108 10 10−4
Descarga de gas 1016 104 -- 10−4
Ionosfera 1012 103 10−5 10−3
Magnetosfera 107 107 10−8 102
Viento solar 106 105 10−9 10
Medio interestelar 105 104 10−10 10
Medio intergaláctico 1 106 -- 105

Hannes Alfven asegura que: «En un plasma de baja densidad regiones localizadas de carga pueden generar grandes caídas de potencial a distancias del orden de varias decenas de longitudes de Debye. Estas regiones son llamadas “capas eléctricas dobles”. Una doble capa eléctrica es la distribución espacial de carga más simple que da una caída de potencial en la capa y un campo eléctrico que desaparece al otro lado de la capa. En el laboratorio las dobles capas se han estudiado por medio siglo, pero su importancia en plasmas cósmicos no ha sido reconocida de forma general».

Longitud de Debye en un plasma

En un plasma, el medio que se encuentra en el fondo puede ser tratado como vacío (εr = 1), y la longitud de Debye es

\lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B/q_e^2}{n_e/T_e+\displaystyle\sum_{ij} j^2n_{ij}/T_i}}

donde

λD es la longitud de Debye,
ε0 es la permitividad eléctrica del vacío,
kB es la constante de Boltzmann,
qe es la carga del electrón,
Te y Ti son las temperaturas de los electrones y de los iones, respectivamente,
ne es la densidad de electrones,
nij es la densidad de especies atómicas i, con carga iónica positiva jqe.

El término iónico se elimina generalmente, dando

\lambda_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e q_e^2}},

aunque esto es válido solamente cuando la movilidad de los iones es despreciable comparada con la escala de tiempo del proceso.[7]

Longitud de Debye en un electrolito

En un electrolito o un coloide la longitud de Debye se denota usualmente con el símbolo κ − 1:[8]

\kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 k_B T}{2 N_A e^2 I}}

donde

I es la fuerza iónica del electrolito,
ε0 es la permitividad eléctrica del espacio libre,
εr es la constante dieléctrica,
kB es la constante de Boltzmann,
T es la temperatura absoluta en kelvin,
NA es el número de Avogadro y
e es la carga del electrón.

Para un electrolito simétrico monovalente:

\kappa^{-1} = \sqrt{\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 R T}{2 F^2 C_0}}

where

R es la constante universal de los gases,
F es la constante de Faraday,
C0 es la concentración molar del electrolito.

De forma alternativa:

\kappa^{-1} = \frac{1}{\sqrt{8\pi \lambda_B N_A I}}

donde

λB es la longitud de Bjerrum del medio.

Para agua a temperatura ambiente \lambda_B\approx 0,7 nm. A esta temperatura se puede considerar en el agua la siguiente relación:[9]

\kappa^{-1}(\mathrm{nm}) = \frac{0,304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}

donde

κ−1 se expresa en nanometros (nm),
I es la fuerza iónica expresada en molar (M o mol/L).

Longitud de Debye en silicio

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más importante en el modelado de dispositivos de estado sólido conforme los avances en tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas.[10] [11] [12]

La longitud de Debye en el silicio está dada por:

\mathit{L}_D = \sqrt{\frac{\varepsilon_{\mathrm{Si}} k_B T}{q^2N_d}}

donde

εSi es la constante dieléctrica del silicio,
kB es la constante de Boltzmann,
T es la temperatura absoluta en kelvins,
q es la carga elemental y
Nd es la densidad de donantes en el sustrato.

cuando el perfil de impurezas excede la longitud de Debye, la mayoría de los portadores no se comportan ya de acuerdo a la distribución de las impurezas. En vez de ello, una medida del perfil de los gradientes de impurezas da un perfil «efectivo» que se ajusta mejor al perfil de la densidad de los portadores.

Referencias

Notas

  1. ↑ Kirby BJ.. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices. http://www.kirbyresearch.com/textbook. 
  2. ↑ Li D (2004). Electrokinetics in Microfluidics. 
  3. ↑ PC Clemmow & JP Dougherty (1969). Addison-Wesley λD. ed. Electrodynamics of particles and plasmas. Redwood City CA. pp. §7.6.7, p. 236 ff.. ISBN 0201479869. http://books.google.com/books?id=SBNNzUrTjecC&pg=PP1&dq=particles+plasmas+inauthor:Clemmow&lr=&as_brr=0&sig=KL7sGh0qenwAXLrLTlus5QLiZCU#PPA236,M1. 
  4. ↑ RA Robinson &RH Stokes (2002). Dover Publications. ed. Electrolyte solutions. Mineola NY. p. 76. ISBN 0486422259. http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=6ZVkqm-J9GkC&oi=fnd&pg=PR3&ots=lGOuInat3R&sig=sSBIRyy4aIMT3trxUQrLGDrnPj4#PPA76,M1. 
  5. ↑ Véase DC Brydges & Ph A Martin Coulomb Systems at Low Density: A Review
  6. ↑ Blandford, Roger D. y Thorne, Kip S. (2004). Aplications of Classical Physics, capítulo 19: The Particle Kinetics of Plasma (en inglés).
  7. ↑ I. H. Hutchchinson, Principles of plasma diagnostics. ISBN 0-521-38583-0
  8. ↑ Russel, W.B., Saville, D.A. and Schowalter, W.R. Colloidal Dispersions, Cambridge University Press, 1989
  9. ↑ Israelachvili, J., Intermolecular and Surface Forces, Academic Press Inc., 1985, ISBN 0-12-375181-0
  10. ↑ Stern, Eric (01-11-2007). «Importance of the Debye Screening Length on Nanowire Field Effect Transistor Sensors». Nano Letters 7 (11):  p. 3405–3409. doi:10.1021/nl071792z. http://dx.doi.org/10.1021/nl071792z. Consultado el 25-10-2010. 
  11. ↑ Guo, Lingjie (1997). «A room-temperature silicon single-electron metal–oxide–semiconductor memory with nanoscale floating-gate and ultranarrow channel». Applied Physics Letters 70 (7):  pp. 850. doi:10.1063/1.118236. ISSN 00036951. http://link.aip.org/link/APPLAB/v70/i7/p850/s1&Agg=doi. Consultado el 25-10-2010. 
  12. ↑ Tiwari, Sandip (1996). «Single charge and confinement effects in nano-crystal memories». Applied Physics Letters 69 (9):  pp. 1232. doi:10.1063/1.117421. ISSN 00036951. http://link.aip.org/link/APPLAB/v69/i9/p1232/s1&Agg=doi. Consultado el 25-10-2010. 

Lectura adicional

  • Goldston & Rutherford (1997). Institute of Physics Publishing, Philadelphia. ed. Introduction to Plasma Physics. 
  • Lyklema (1993). Academic Press, NY. ed. Fundamentals of Interface and Colloid Science. 

Wikimedia foundation. 2010.

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