Material ortótropo

La madera es un ejemplo de un material ortótropo: sus propiedades en tres direcciones perpendiculares (axial, radial y circunferencial) son diferentes.

Un material ortótropo tiene dos o tres ejes ortogonales entre sí, de doble simetría rotacional, de forma que sus propiedades mecánicas son, en general, diferentes en las direcciones de cada uno de esos ejes. Los materiales ortótropos son entonces anisótropos, ya que sus propiedades dependen de la dirección en que son medidas. En cambio, un material isótropo tiene las mismas propiedades en todas las direcciones.

Un ejemplo común de un material ortótropo con dos ejes de simetría es un polímero reforzado por fibras de vidrio o carbono paralelas. La resistencia y rigidez de un material compuesto de estas características generalmente serán mayores en la dirección paralela a las fibras respecto de la dirección transversal. Otro ejemplo es una membrana biológica, en la cual las propiedades en el plano de la membrana son diferentes a aquellas en la dirección perpendicular. Estos materiales son llamados a veces transversalmente isótropos.

Un ejemplo familiar de un material ortótropo con tres ejes mutuamente perpendiculares es la madera, en la que las propiedades (tales como resistencia y rigidez) a lo largo de sus fibras y en cada una de dos direcciones perpendiculares son diferentes. La ecuación de Hankinson provee una forma de cuantificar la diferencia en resistencia entre las diferentes direcciones. Otro ejemplo es un metal que ha sido laminado para producir una lámina. En él, las propiedades en la dirección de laminado y en cada una de las dos direcciones transversales serán diferentes debido a la estructura anisotrópica que se produce durante el laminado.

Es importante recordar que un material que es anisotrópico en una escala de medida puede ser isotrópico en otra, en general, mayor. Por ejemplo, la mayoría de los metales son policristalinos con granos muy pequeños. Cada uno de los granos individuales puede ser anisotrópico, pero el material como globalmente está formado por granos de orientación al azar, por lo que sus propiedades mecánicas medidas serán un promedio de las propiedades en todas las posibles orientaciones de los granos individuales.

Ortotropía en física

Relaciones constitutivas para materiales anisótropos

El comportamiento de los materiales se presenta en teorías físicas como relaciones constitutivas. Una gran cantidad de comportamientos físicos se pueden representar con modelos lineales de materiales que toman la forma de un tensor de segundo orden. El tensor material relaciona dos vectores y puede ser escrito como:

$\mathbf{f} = \boldsymbol{K}\cdot\mathbf{d}$

donde $\mathbf{d},\mathbf{f}$ son dos vectores que representan magnitudes físicas y $\boldsymbol{K}$ es el tensor material de segundo orden. Si se expresa la ecuación anterior en términos de componentes respecto de un sistema de coordenadas ortogonales resulta:

$f_i = K_{ij}~d_j ~.$

En la relación anterior se ha asumido la sumatoria sobre índices repetidos (notación de Einstein). En forma matricial se obtiene:

$\underline{\mathbf{f}} = \underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\mathbf{d}} \implies \begin{bmatrix} f_1\\f_2\\f_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13} \\ K_{21} & K_{22} & K_{23} \\ K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_1\\d_2\\d_3 \end{bmatrix}$

Ejemplos de problemas físicos que encajan en esta descripción están listados en la lista a continuación:^[1]

Problema	$\mathbf{f}$	$\mathbf{d}$	$\boldsymbol{K}$
Conducción eléctrica	Corriente eléctrica $\mathbf{J}$	Campo eléctrico $\mathbf{E}$	Conductividad eléctrica $\boldsymbol{\sigma}$
Dieléctricos	Densidad de flujo eléctrico $\mathbf{D}$	Campo eléctrico $\mathbf{E}$	Permitividad $\boldsymbol{\varepsilon}$
Magnetismo	Inducción magnética $\mathbf{B}$	Excitación magnética $\mathbf{H}$	Permeabilidad magnética $\boldsymbol{\mu}$
Conducción de calor	Flujo de calor $\mathbf{q}$	Gradiente térmico $-\boldsymbol{\nabla}T$	Conductividad térmica $\boldsymbol{\kappa}$
Difusión	Flujo de partículas $\mathbf{J}$	Gradiente de concentración $-\boldsymbol{\nabla}c$	Coeficiente de difusión $\boldsymbol{D}$
Flujo en medios porosos	Velocidad ponderada $\eta_\mu\mathbf{v}$	Gradiente barométrico $\boldsymbol{\nabla}P$	Permeabilidad $\boldsymbol{\kappa}$

Condición para simetría del material

La matriz del material $\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}$ tiene simetría respecto de una transformación ortogonal ( $\boldsymbol{A}$ ) si no cambia cuando se la somete a una transformación de ese tipo. Para la invariancia de las propiedades del material cuando se le aplica una transformación de tales características se requiere que

$\boldsymbol{A}\cdot\mathbf{f} = \boldsymbol{K}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{d}) \implies \mathbf{f} = (\boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{d}$

Por lo tanto, la condición de simetría del material es (usando la definición de una transformación ortogonal)

$\boldsymbol{K} = \boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}^{T}\cdot\boldsymbol{K}\cdot\boldsymbol{A}$

Las transformaciones ortogonales se pueden representar en coordenadas cartesianas mediante una matriz $\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}$ de $3\times 3$ dada por

$\underline{\underline{\boldsymbol{A}}} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}~.$

Por lo tanto, la condición de simetría se puede escribir en forma matricial como

$\underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}}}$

Propiedades materiales del ortótropo

Un material ortótropo tiene tres planos de simetría ortogonal. Si cogemos un sistema coordinado ortonormal de manera que los ejes coincidan con las normales por los tres planos de simetría, las matrices de transformación son:

$\underline{\underline{\boldsymbol{A}_1}} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~ \underline{\underline{\boldsymbol{A}_2}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~ \underline{\underline{\boldsymbol{A}_3}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

Se puede ver que si la matriz $\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}$ para un material es invariable ante la reflexión de dos planos ortogonales, entonces es también invariable ante la reflexión sobre un tercer plano ortogonal.

Teniendo en cuenta la reflexión $\underline{\underline{\boldsymbol{A}_3}}$ sobre el plano $1-2\,$ Entonces tenemos:

$\underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T_3}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}_3}} = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & -K_{13} \\ K_{21} & K_{22} & -K_{23} \\ -K_{31} & -K_{32} & K_{33} \end{bmatrix}$

La relación citada anteriormente implica que $K 13 = K 23 = K 31 = K 32 = 0$ . Tengamos ahora en cuenta una reflexión $\underline{\underline{\boldsymbol{A}_2}}$ sobre el plano $1-3\,$ Entonces tenemos:

$\underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \underline{\underline{\boldsymbol{A}^T_2}}~\underline{\underline{\boldsymbol{K}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{A}_2}} = \begin{bmatrix} K_{11} & -K_{12} & 0 \\ -K_{21} & K_{22} & 0 \\ 0 & 0 & K_{33} \end{bmatrix}$

Esto implica que $K 12 = K 21 = 0$ . Por lo tanto, las propiedades materiales de un material ortótropo están descritas por la matriz:

$\underline{\underline{\boldsymbol{K}}} = \begin{bmatrix} K_{11} & 0 & 0 \\ 0 & K_{22} & 0 \\ 0 & 0 & K_{33} \end{bmatrix}$

Ortotropía en la elasticidad lineal

Elasticidadad anisótropa

En la elasticidad lineal, la relación entre tensión y esfuerzo dependen del tipo de material en consideración. Esta relación es conocida como Ley de Hooke. Para materiales anisótropos, la Ley de Hooke puede ser escrita como:^[2]

$\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\varepsilon}$

En donde $\boldsymbol{\sigma}$ es el tensor de la tensión , $\boldsymbol{\varepsilon}$ es el tensor del esfuerzo, y $\mathsf{c}$ es el tensor de fuerza elástico. Si los tensores de las expresiones anteriormente citadas están descritos en términos de componentes con respecto a un sistema ortonormal coordinado podemos escribir:

$\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~ \varepsilon_{k\ell}$

En donde la suma se ha asumido sobre índices repetidos. Desde que la tensión y el esfuerzo son simétricos, y desde que la relación de tensión-esfuerzo en elasticidad lineal puede ser derivada desde una función de esfuerzo de densidad energética, Las siguientes simetrías se mantienen por materiales elásticos lineales.

$c_{ijk\ell} = c_{jik\ell} ~,~~c_{ijk\ell} = c_{ij\ell k} ~,~~ c_{ijk\ell} = c_{k\ell ij} ~.$

Debido a las simetrías citadas anteriormente, la relación de tensión-esfuerzo en elasticidad lineal puede ser expresada en forma matriz como:

$\begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\ c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\ c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\ c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\ c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\ c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}$

Una representación alternativa en Notación Voigt es:

$\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}$

o también

$\underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}} = \underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}$

La matriz de fuerza $\underline{\underline{\mathsf{C}}}$ en la relación anterior satisface el punto de simetría.^[3]

Condición para materiales simétricos

La matriz de fuerza $\underline{\underline{\mathsf{C}}}$ satisface una simetría de condición dada si no se cambia cuando está sometida a la transformación ortogonal correspondiente. La transformación ortogonal podría representar simetría con respecto a un punto, un eje, o un plano. Las transformaciones ortogonales en elasticidad lineal incluyen rotaciones y reflexiones, pero no cambios de transformación en la forma y pueden ser representadas en coordinadas ortonormales, dadas por la matriz $3\times 3$ $\underline{\underline{\mathbf{A}}}$ dada por:

$\underline{\underline{\mathbf{A}}} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}~.$

En Notación Voigt, la transformación de la matriz para el tensor de fuerza puede ser expresada como una matriz: $6\times6$ dada por $\underline{\underline{\mathsf{A}_\sigma}}$ ^[3]

$\underline{\underline{\mathsf{A}_\sigma}} = \begin{bmatrix} A_{11}^2 & A_{12}^2 & A_{13}^2 & 2A_{12}A_{13} & 2A_{11}A_{13} & 2A_{11}A_{12} \\ A_{21}^2 & A_{22}^2 & A_{23}^2 & 2A_{22}A_{23} & 2A_{21}A_{23} & 2A_{21}A_{22} \\ A_{31}^2 & A_{32}^2 & A_{33}^2 & 2A_{32}A_{33} & 2A_{31}A_{33} & 2A_{31}A_{32} \\ A_{21}A_{31} & A_{22}A_{32} & A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\ A_{11}A_{31} & A_{12}A_{32} & A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\ A_{11}A_{21} & A_{12}A_{22} & A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \end{bmatrix}$

La transformación para el tensor de esfuerzo tiene una ligera forma diferente debido a la elección de notación. Esta transformación de matriz es:

$\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix} A_{11}^2 & A_{12}^2 & A_{13}^2 & A_{12}A_{13} & A_{11}A_{13} & A_{11}A_{12} \\ A_{21}^2 & A_{22}^2 & A_{23}^2 & A_{22}A_{23} & A_{21}A_{23} & A_{21}A_{22} \\ A_{31}^2 & A_{32}^2 & A_{33}^2 & A_{32}A_{33} & A_{31}A_{33} & A_{31}A_{32} \\ 2A_{21}A_{31} & 2A_{22}A_{32} & 2A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\ 2A_{11}A_{31} & 2A_{12}A_{32} & 2A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\ 2A_{11}A_{21} & 2A_{12}A_{22} & 2A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \end{bmatrix}$

Se puede mostrar que: $\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T = \underline{\underline{\mathsf{A}_\sigma}}^{-1}$ .

Las propiedades elásticas de un continuo son invariables ante una transformación $\underline{\underline{\mathbf{A}}}$ si y sólo si:^[3]

$\underline{\underline{\mathsf{C}}} = \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T~\underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}$

Matrices de rigidez y flexibildiad para materiales ortótropos

An orthotropic elastic material has three orthogonal symmetry planes. If we choose an orthonormal coordinate system such that the axes coincide with the normals to the three symmetry planes, the transformation matrices are

$\underline{\underline{\mathbf{A}_1}} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~ \underline{\underline{\mathbf{A}_2}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ~;~~ \underline{\underline{\mathbf{A}_3}} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

We can show that if the matrix $\underline{\underline{\mathsf{C}}}$ for a linear elastic material is invariant under reflection about two orthogonal planes then it is also invariant under reflection about the third orthogonal plane.

If we consider the reflection $\underline{\underline{\mathbf{A}_3}}$ about the $1-2\,$ plane, then we have

$\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Then the requirement $\underline{\underline{\mathsf{C}}} = \underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}^T~\underline{\underline{\mathsf{C}}}~\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}}$ implies that^[3]

$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & -C_{14} & -C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & -C_{24} & -C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & -C_{34} & -C_{35} & C_{36} \\ -C_{14} & -C_{24} & -C_{34} & C_{44} & C_{45} & -C_{46} \\ -C_{15} & -C_{25} & -C_{35} & C_{45} & C_{55} & -C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & -C_{46} & -C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}$

The above requirement can be satisfied only if

$C_{14} = C_{15} = C_{24} = C_{25} = C_{34} = C_{35} = C_{46} = C_{56} = 0 ~.$

Let us next consider the reflection $\underline{\underline{\mathbf{A}_2}}$ about the $1-3\,$ plane. In that case

$\underline{\underline{\mathsf{A}_\varepsilon}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

Using the invariance condition again, we get the additional requirement that

$C_{16} = C_{26} = C_{36} = C_{45} = 0 ~.$

No further information can be obtained because the reflection about third symmetry plane is not independent of reflections about the planes that we have already considered. Therefore, the stiffness matrix of an orthotropic linear elastic material can be written as

$\underline{\underline{\mathsf{C}}} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix}$

The inverse of this matrix is commonly written as^[4]

$\underline{\underline{\mathsf{S}}} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 12}}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 13}}{E_{\rm 1}} & 0 & 0 & 0 \\ -\tfrac{\nu_{\rm 21}}{E_{\rm 2}} & \tfrac{1}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 23}}{E_{\rm 2}} & 0 & 0 & 0 \\ -\tfrac{\nu_{\rm 31}}{E_{\rm 3}} & - \tfrac{\nu_{\rm 32}}{E_{\rm 3}} & \tfrac{1}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 31}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 12}} \\ \end{bmatrix}$

where ${E}_{\rm i}\,$ is the Young's modulus along axis $i$ , $G_{\rm ij}\,$ is the shear modulus in direction $j$ on the plane whose normal is in direction $i$ , and $\nu_{\rm ij}\,$ is the Poisson's ratio that corresponds to a contraction in direction $j$ when an extension is applied in direction $i$ .

Cotas para los módulos ela´sticos en materiales ortótropos

The strain-stress relation for orthotropic linear elastic materials can be written in Voigt notation as

$\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \underline{\underline{\mathsf{S}}}~\underline{\underline{\boldsymbol{\sigma}}}$

where the compliance matrix $\underline{\underline{\mathsf{S}}}$ is given by

$\underline{\underline{\mathsf{S}}} = \begin{bmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\ S_{12} & S_{22} & S_{23} & 0 & 0 & 0 \\ S_{13} & S_{23} & S_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & S_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & S_{55} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & S_{66} \end{bmatrix}$

The compliance matrix is symmetric and must be positive definite for the strain energy density to be positive. This implies from Sylvester's criterion that all the principal minors of the matrix are positive,^[5] i.e.,

$\Delta_k := \det(\underline{\underline{\mathsf{S}_k}}) > 0$

where $\underline{\underline{\mathsf{S}_k}}$ is the $k\times k$ principal submatrix of $\underline{\underline{\mathsf{S}}}$ .

Then,

$\begin{align} \Delta_1 > 0 & \implies \quad S_{11} > 0 \\ \Delta_2 > 0 & \implies \quad S_{11}S_{22} - S_{12}^2 > 0 \\ \Delta_3 > 0 & \implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^2)S_{33}-S_{11}S_{23}^2+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^2 >0 \\ \Delta_4 > 0 & \implies \quad S_{44}\Delta_3 > 0 \implies S_{44} > 0\\ \Delta_5 > 0 & \implies \quad S_{44}S_{55}\Delta_3 > 0 \implies S_{55} > 0 \\ \Delta_6 > 0 & \implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta_3 > 0 \implies S_{66} > 0 \end{align}$

We can show that this set of conditions implies that^[6]

$S_{11} > 0 ~,~~ S_{22} > 0 ~,~~ S_{33} > 0 ~,~~ S_{44} > 0 ~,~~ S_{55} > 0 ~,~~ S_{66} > 0$

E 1 > 0, E 2 > 0, E 3 > 0, G 12 > 0, G 23 > 0, G 13 > 0

However, no similar lower bounds can be placed on the values of the Poisson's ratios $ν i j$ .^[5]

Véase también

Referencias

↑ Milton, G. W., 2002, The Theory of Composites, Cambridge University Press.
↑ Lekhnitskii, S. G., 1963, Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body, Holden-Day Inc.
↑ ^a ^b ^c ^d Slawinski, M. A., 2010, Waves and Rays in Elastic Continua: 2nd Ed., World Scientific. http://samizdat.mines.edu/wavesandrays/WavesAndRays.pdf
↑ Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, Advanced Mechanics of Materials, Wiley.
↑ ^a ^b Ting, T. C. T. and Chen, T., 2005, Poisson's ratio for anisotropic elastic materials can have no bounds,, Q. J. Mech. Appl. Math., 58(1), pp. 73-82.
↑ Ting, T. C. T., 1996, Positive definiteness of anisotropic elastic constants,, Mathematics and Mechanics of Solids, 1, pp. 301-314.

Enlasces externos

Orthotropy modeling equations from OOFEM Matlib manual section.
Hooke's law for orthotropic materials

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