Conjunto clopen

En topología, un conjunto clopen (o conjunto cebierto) en un espacio topológico es un conjunto que es a la vez abierto y cerrado.

Ejemplos

En cualquier espacio topológico X, el conjunto vacío y todo el espacio X son ambos clopen.

Ahora considere el espacio X que consiste en la unión de los dos intervalos [0, 1] y [2, 3]. La topología en X se hereda como la topología del subespacio de la topología ordinaria en la recta real R. En X, el conjunto [0, 1] es clopen, al igual que el conjunto [2, 3]. Esto es un ejemplo absolutamente típico: siempre que un espacio se componga de un número finito de componentes conexos disjuntos de esta manera, los componentes serán clopen.

Como ejemplo menos trivial, considérese el espacio Q de todos los números racionales con su topología usual, y el conjunto A de todos los números racionales más grandes que la raíz cuadrada de 2. Usar el hecho de que √2 no está en Q, se puede demostrar fácilmente que A es un subconjunto clopen de Q. (nótese también que A no es un subconjunto clopen de la recta real R; no es ni abierto ni cerrado en R.)

Hechos

• Un espacio topológico X es conexo si y sólo si los únicos conjuntos clopen son el conjunto vacío y X.

• Cualquier conjunto clopen es una unión de componentes conexos (posiblemente infinitamente muchos).

• Si todos los componentes conexos de X son abiertos (que sea por ejemplo el caso si X tiene solamente finitos componentes, o si X es localmente conexo), entonces un conjunto es clopen en X si y solamente si es una unión de componentes conexos.

• Un espacio topológico X es discreto si y solamente si cada uno de sus subconjuntos es clopen.

• Usando la unión y la intersección como operaciones, los subconjuntos clopen de un espacio topológico dado X forma un álgebra de Boole. Notablemente, cada álgebra de Boole se puede obtener de esta manera de un espacio topológico conveniente: vea el teorema de representación de Stone para las álgebras booleanas.