Conjunto cociente

Conjunto cociente
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En matemáticas, sea ∼ una relación de equivalencia definida en el conjunto K, llamaremos a K/ ∼ el conjunto cociente de K por ∼ a la partición de K formada por todas las clases de equivalencia determinadas en K por ~. Es decir, el conjunto cociente es el conjunto de todas las clases de equivalencia que se puedan formar con los elementos de K, mediante ∼.

Contenido

Conjuntos

Formalmente,

K /\sim \ = \{ [a] / a\in K \} \subset \mathcal{P}(K)

Aquellas clases de equivalencia que sean iguales (véase Igualdad de conjuntos en Teoría de conjuntos) se aceptan como la misma y deben tomarse todas ellas como un único elemento del conjunto cociente.

Grupos

Teniendo un grupo G y un subgrupo H en él, es posible construir el conjunto cociente (a la izquierda) G / H consistente en las clases laterales izquierdas

G/H=\{Ha:a\in G\}

que en general no es un grupo, solamente si se tiene normalidad de H en G entonces G/H si es un grupo y entre las clases laterales tenemos Ha = aH, para toda a del grupo.

En este último caso tenemos al grupo cociente.

Espacios vectoriales

La construcción análoga con espacio vectoriales también producen espacios cociente

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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