Esquema de la curvatura del espacio-tiempo

La curvatura del espacio-tiempo es una de las principales consecuencias de la teoría de la relatividad general de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial curva, aun cuando en realidad pueden estar moviéndose según líneas de universo lo más "rectas" posibles a través un espacio-tiempo curvado. Las líneas más "rectas" posibles de un espacio-tiempo se llaman líneas geodésicas y son líneas de curvatura mínima.

Historia de las geometrías no euclídeas

Las ideas básicas que llevaron a la noción de que el espacio físico es curvo y por tanto no euclídeo a los muchos intentos, a lo largo de varios siglos, para probar si el quinto postulado de Euclides podía derivarse del resto de axiomas de la geometría euclídea. Este postulado afirma que fijada una recta y un punto exterior a ésta, existe una y sólo una recta paralela a la primera que pase por dicho punto.

Esos intentos culminaron con la constatación por Bolyai y Gauss de que este axioma o postulado de las paralelas puede obviarse, y se pueden construir geometrías donde simplemente el postulado es falso, dando lugar a las geometría no euclídeas. Así además del espacio plano o euclídeo, podemos construir otros espacios de curvatura constante como:

• El espacio abierto hiperbólico de Bolyai-Lobachevski en el que existe, no una si no infinitas rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto exterior prefijado.
• El espacio cerrado elíptico de Riemann en el que no existe ninguna recta paralela exterior a otra dada que no la intersecte.

Bases matemáticas

Las matemáticas generales para estudiar geometrías curvas totalmente generales, se llamaron con el tiempo bajo el nombre de geometría de Riemann y fueron desarrolladas por Bernhard Riemann, discípulo de Gauss.

Sin embargo, durante todo el siglo XIX, la teoría de espacios curvos fue considerada una abstracción matemática que nada tenía que ver con la geometría del universo real. No fue hasta después de que Einstein desarrolló la teoría de la relatividad especial que las geometrías no-euclídeas se hicieron notorias también fuera de las matemáticas.

Dentro de la teoría de la relatividad, el espacio y el tiempo forman una variedad diferenciable, llamada espacio-tiempo, que matemáticamente se trata como una variedad pseudoriemanniana de signatura (3,1) (ya que existen tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal). Y la curvatura del espacio-tiempo viene definida por el tensor de curvatura de Riemann. así como

Midiendo el espacio-tiempo curvo

Gauss había mostrado que pueden existir otras geometrías no-euclídeas, lo cual sugería que geometría real del espacio no tenía por qué ser euclídea. Si la geometría del espacio no fuera euclídea habría ciertas consecuencias medibles, por ejemplo, si un físico pone una marca, y un cartógrafo permanece a una cierta distancia y se mide su longitud por triangulación basada en la geometría euclídea, entonces no está garantizado que sea dada la misma respuesta si el físico porta la marca consigo y mide su longitud directamente.

Por supuesto, para una marca no podría medirse en la práctica la diferencia entre las dos medidas, pero existen medidas equivalentes que deben detectar la geometría no euclidiana del espacio-tiempo directamente, por ejemplo el experimento de Pound-Rebka (1959) detectó el cambio en la longitud de onda de la luz de una fuente de cobalto surgiendo por 22.5 metros contra la gravedad en un local del Laboratorio de Física Jefferson en la Universidad de Harvard, y la cadencia de un reloj atómico en un satélite GPS alrededor de la tierra tiene que ser corregida por efecto de la gravedad.

Véase también

• 'Las transformaciones de Lorentz y la geometría.
• Espacio-tiempo
• Tensor de curvatura