Distribuciones continuas

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Conjunto discreto

  • Conjunto discreto. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.


Tipos de Variables

  • Variable aleatoria (va). Para un espacio muestral S dado de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier regla que asocia un número con cada resultado de S. Las mayúsculas X o Y se utilizan para denotar variables aleatorias. Una va se asocia a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio, es el resultado numérico de un experimento aleatorio.
  • Variable aleatoria discreta. Una va es discreta si su conjunto de valores posibles es un conjunto discreto; es decir, toma un número finito de valores numerables.
  • Variable aleatoria continua. Una va continua X es aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo, tiene un conjunto infinito de valores no numerables; esto es, si para algún a < b, cualquier número x entre a y b es posible.

Al considerar las variables continuas es probable que los datos recabados no sean completamente exactos, o dos o más de ellos no coincidan, por lo que se tiene que trabajar en intervalos.

Distribución de probabilidad para variable continua

Para un variable continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable; como se puede hacer en el caso de va discretas, pero es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución de probabilidad), y se puede analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto: la función de densidad.

En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:

F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(x)\, dx

Sea X una va continua, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (FDP) de X es una función f(x) tal que, para cualesquiera dos números a y b siendo a \le b .


P( a \le X \le b )= \int_{a}^{b} f(x)\, dx


La gráfica de f(x) se conoce a veces como curva de densidad, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.


P(a \le X \le b)= área bajo la curva de f(x) entre a y b


Para que f(x) sea una FDP (FDP = f(x)) sea legítima, debe satisfacer las siguientes dos condiciones:


1. f(x) \ge \; 0 para toda x.


2. \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx=1


Ya que la probabilidad es siempre un número positivo, la FDP es una función no decreciente que cumple:


1. \lim_{x \to \infty} F(x) = 1. Es decir, la probabilidad de todo el espacio muestral es 1.


2. \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0. Es decir, la probabilidad del suceso nulo es cero.


Algunas FDP están declaradas en rangos de -\infty \; a \infty \;, como la de la distribución normal.

Distribuciones de variable continua


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