Función implícita

Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb{R}^2$ entre las variables x e y:

$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

Diferenciación

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y) \,$ , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ .

Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$ , entonces para obtener la derivada:

$D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )$

Ejemplo

Obtener la derivada de:

$6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,$

El término $6 x 2 y$ se puede considerar que son dos funciones, $6 x 2$ y $y$ por lo que se derivará como un producto:

$D_x \left ( 6x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )$

El término $5 y 3$ se deriva como:

$D_x \left ( 5y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}$

El término $3 x 2$ se deriva de forma normal como:

$D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

$D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,$

El término $x 2 y 2$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

$D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )$

Al unir todos los términos se obtiene:

$12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Ordenando:

$6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2$

Factorizando respecto a ( $\frac {dy}{dx}$ ) los valores son:

$\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )$

Finalmente despejando $\frac {dy}{dx}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

$\frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }$

Véase también

Categorías:

Tipos de funciones
Cálculo diferencial

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

Teorema de la función implícita — En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás. Una … Wikipedia Español
Teorema de la Función Implícita — El teorema de la función implícita consiste en establecer las condiciones bajo las cuales una ecuación de varias variables define a una de ellas como función de las demás. Se consideran el punto P(a1,a2,...,an,b) y la ecuación F(x1,x2,...,xn,z)=0 … Enciclopedia Universal
función — (Del lat. functĭo, ōnis). 1. f. Capacidad de actuar propia de los seres vivos y de sus órganos, y de las máquinas o instrumentos. 2. Tarea que corresponde realizar a una institución o entidad, o a sus órganos o personas. 3. Acto solemne,… … Diccionario de la lengua española
Función — (Del lat. functio, onis.) ► sustantivo femenino 1 BIOLOGÍA Actividad o capacidad de acción específica de un ser vivo y de sus órganos: ■ la función del riñón; la función clorofílica. 2 Desempeño de un cargo u oficio: ■ el vicepresidente desempeña … Enciclopedia Universal
Función algebraica — En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación donde los… … Wikipedia Español
Función W de Lambert — Gráfica de W0(x) para −1/e ≤ x ≤ 4. En matemáticas, la función W de Lambert, denominada así en honor a Johann Heinrich Lambert, si bien también se conoce como función Omega o log producto, es la función inversa de f(w) = wew donde ew es … Wikipedia Español
Teorema de la función inversa — En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho … Wikipedia Español
Límite de una función — El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser… … Wikipedia Español
Anexo:Funciones matemáticas — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar … Wikipedia Español
Transformada de Legendre — Interpretación geométrica de la Transformada de Legendre. En matemática se dice que dos funciones diferenciables f y g son una transformada de Legendre si cada una de sus primeras derivadas son función inversa de la otra: Se dice entonces de f … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Función implícita

Diferenciación

Ejemplo

Véase también

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Función implícita

Diferenciación

Ejemplo

Véase también

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo