Función inyectiva

Función inyectiva
Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función f \colon X \to Y \, es inyectiva si a cada valor del conjunto X\, (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto Y\, (imagen) de f\,. Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por f(x)=x^2\, no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Contenido

Definición formal

De manera más precisa, una función f:X\to Y\, es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

  • Si x1,x2 son elementos de X\, tales que f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.
  • Si x1,x2 son elementos diferentes de X\,, necesariamente se cumple f(x_1)\ne f(x_2)

Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:

Correspon 1402.svg
Correspon 1602.svg

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos \scriptstyle A y \scriptstyle B, entre los cuales existe una función inyectiva \scriptstyle f:A \to B tienen cardinales que cumplen:

\mbox{card}(A) \le \mbox{card}(B)

Si además existe otra aplicación inyectiva \scriptstyle g:B \to A, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Ejemplos

  • Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de la inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
  • La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
  • La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
  • La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
  • El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
  • La función g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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