Grupo uniparamétrico

En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo uniparamétrico es un subconjunto de un grupo de Lie de dimensión uno. De hecho un grupo uniparamétrico puede ser representado por una colección $\{\varphi_t \in G| t\in I \subset \R \}$ de "operadores" o elementos de un grupo $(G,\cdot)$ , que vienen dados por un homomorfismo local de grupo continuo $\varphi: \R \to G$ , de la recta real $\R$ , considerada como grupo aditivo) a otro grupo topológico G. Un homomorfismo local como el anterior se define por las siguientes condiciones:

$φ 0 = e G$
$\exists (-t_0,t_0)\subset I_0 \subset I: \ \left(\forall s,t \in I_0: (\varphi_{s+t} = \varphi_s \cdot \varphi_t) \right)$

Contenido

1 Grupo uniparamétrico global
- 1.1 Ejemplo
2 Grupos uniparamétricos locales
3 Grupos uniparamétricos en grupos de Lie
4 Grupos uniparamétricos en física
- 4.1 Teorema de Noether
- 4.2 Operadores unitarios en mecánica cuántica

Grupo uniparamétrico global

Cuando la aplicación que define el subgrupo se puede extender a toda la recta real, es decir, cuando en la definición anterior puede extenderse de modo que $I_0 = \R$ , entonces la extensión de $\varphi\;$ es un homeomorfismo ordinario y entonces el grupo uniparamétrico no sólo es un subconjunto de un grupo continuo de dimensión uno, sino que toda la colección ${φ t}$ es en sí misma un grupo continuo unidimensional.

Un grupo uniparamétrico global puede ser identificado con un grupo de Lie unidimensional.

Ejemplo

La aplicación dada por:

$\varphi: R \to U(1)\subset \mathbb{C} \qquad \varphi_s = \exp(2\pi si)$

Donde $U(1)\;$ denota el conjunto de números complejos de módulo unidad, que topológicamente puede ser interpetado como el círculo unidad del plano euclídeo; constituye un grupo uniparamétrico local, no trivial y la aplicación $\varphi\;$ es un epimorfismo de grupos. En este caso el grupo paramétrico unidimensional es además un grupo de Lie.

Grupos uniparamétricos locales

En matemáticas y sobre todo en física surge la necesidad de considerar grupos de simetría alrededor del operador identidad $\varphi_0\;$ en ese caso usamos morfismos locales que no necesariamente pueden extenderse a morfismos globales.

Grupos uniparamétricos en grupos de Lie

Un caso especialmente extraño son los grupos uniparamétricos son aquellos que aún siendo grupos unidimensionales son densos en un grupo de Lie de dimensión mayor que uno. En ese caso surge la complicación técnica es que $\varphi(\R)$ como suespacio de $(G,\cdot)$ tiene una topología más gruesa que la de la recta real ordinaria, al ser $\varphi \;$ inyectivo.

Un ejemplo de esto es la aplicación de la recta real sobre el toro:

$\varphi: \R \to \mbox{S}^1\times\mbox{S}^1 \qquad \varphi_s = (\mbox{e}^{(2\pi r_0)si},\mbox{e}^{2\pi si})$

Donde $r 0$ es un número irracional. El grupo uniparamétrico identificado con el conjunto imagen de la aplicación anterior se enrosca y se enrosca sobre el toro indefinidamente sin intersecarse a sí mismo formando un conjunto denso en el toro que se distingue del toro por tres razones:

Tiene una parametrización definida,
El homomorfismo de grupos puede no ser inyectivo, y
La topología inducida puede no ser la estándar de la recta real.

Grupos uniparamétricos en física

Puede probarse que el conjunto de grupos uniparamétricos locales que mantienen la simetría o invariancia de un cierto problema físico está generado por un elemento de un álgebra de Lie.

Teorema de Noether

Artículo principal: Teorema de Noether

El teorema de Noether permite construir integrales de movimiento o leyes de conservación a partir de elementos del álgebra de Lie que genera todos los grupos uniparamétricos que son simetrías locales del problema físico.

Operadores unitarios en mecánica cuántica

Tales grupos uniparamétricos son de importancia básica en la teoría de los grupos de Lie, para quienes cada elemento del álgebra de Lie asociada define tal homomorfismo, la función exponencial. En el caso de grupos matriciales viene dado por la exponencial de matrices.

Otro caso importante se ve en el análisis funcional, con G siendo el grupo de los operadores unitarios en un espacio de Hilbert.

Categoría:

Grupos de Lie

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

Grupo uniparamétrico — En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo uniparamétrico significa generalmente un homomorfismo de grupo continuo φ: R → G de la recta real R (como grupo aditivo) a otro gr … Enciclopedia Universal
Grupo — (del italiano gruppo), la pluralidad de elementos que forman un conjunto, puede hacer referencia a: Contenido 1 En matemáticas 2 En astronomía 3 En física … Wikipedia Español
Grupo (matemática) — En álgebra abstracta, un grupo es un conjunto en el que se define una operación binaria (i.e. un magma), que satisface ciertos axiomas detallados más abajo. La rama de la matemática que estudia los grupos se llama teoría de grupos. Contenido 1… … Wikipedia Español
Teorema de Noether — El teorema de Noether es un resultado central en física teórica. Expresa que la existencia de ciertas simetrías abstractas en un sistema físico comporta la existencia de las leyes de conservación. El teorema se denomina así por la matemática Emmy … Wikipedia Español
Vector de Killing — Un vector de Killing o campo vectorial de Killing es un vector definido sobre una variedad de Riemann o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías. En teoría de la relatividad general los vectores de Killing son de gran… … Wikipedia Español
Simetría — El hombre Vitrubio, de Leonardo da Vinci (ca. 1487), es una representación frecuente de la simetría del cuerpo humano, y por extensión del mundo natural. La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros… … Wikipedia Español
Glosario de relatividad — Anexo:Glosario de relatividad Saltar a navegación, búsqueda Este artículo contiene un glosario términos comúnmente usados en teoría de la relatividad. Se definen algunos de los términos brevemente y se enlaza a un artículo más amplio si éste… … Wikipedia Español
Anexo:Glosario de relatividad — Este artículo contiene un glosario términos comúnmente usados en teoría de la relatividad. Se definen algunos de los términos brevemente y se enlaza a un artículo más amplio si éste existe. Índice: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W… … Wikipedia Español
Ley de conservación — Las leyes de conservación se refieren a las leyes físicas que postulan que durante la evolución temporal de un sistema aislado ciertas magnitudes tienen un valor constante. Puesto que el universo entero constituye un sistema aislado pueden… … Wikipedia Español
Isometría — Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Contenido 1 Definición 2 Ejemplos 3 Grupo de isometría 4 Véase también … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Grupo uniparamétrico

Contenido