Grupo unitario

Grupo unitario

En matemáticas, el grupo unitario UK(n) de grado n, es el grupo de matrices unitarias (de n x n) cuyas componentes pertenecen al cuerpo K. Estas matrices, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (Usualmente el cuerpo K se toma como el conjunto de los reales \R o el cuerpo de los números complejos \mathbb{C}.)

El grupo unitario, denotado UK o U(n, K), es un subgrupo del grupo general lineal GL(n, K)


Contenido

Ejemplos

En el caso simple n = 1, el grupo U(1) es el círculo unidad en el plano complejo, con su multiplicación. Todos los grupos unitarios complejos contienen copias de este grupo.

Si el cuerpo F es R, el cuerpo de números reales, entonces el grupo unitario coincide con el grupo ortogonal O(n, R). Si F es C, el cuerpo de los números complejos, se escribe generalmente U(n) para el grupo unitario de grado n.

El grupo unitario U(n) es un grupo de Lie real de dimensión n². El álgebra de Lie de U(n) consiste en las matrices anti-simétricas complejas n por n, con el corchete de Lie dado por el conmutador.

Subgrupos

Generalización

El concepto de grupo unitario puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita, como los espacios de Hilbert usados en mecánica cuántica. Dado un operador autoadjunto \hat{A}, como el que representa una magnitud física puede definirse un grupo de operadores unitarios mediante:

\hat{U}_A(s) = \hbox{exp}\left(-\mathrm{i}\hat{A}s\right) \qquad s\in \R


Los dos ejemplos más notorios son el grupo unitario de evolución temporal, generado a partir del operador hamiltoniano y el grupo de rotaciones alrededor de un eje, generado por el momento angular:

\hat{U}(t) = \hbox{exp}\left( {-\mathrm{i}\hat{H}t} / {\hbar} \right)
\hat{R}(\theta) = \hbox{exp}\left(-{\mathrm{i}\hat{L}_{eje}} / {\hbar} \right) \qquad \theta\in [0,2\pi)



Véase también

Álgebra


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