Grupo especial ortogonal

Grupo especial ortogonal

El grupo especial ortogonal (o grupo ortonormal especial), abreviado usualmente SO(n)\;, es un grupo de Lie que puede ser representado como un subgrupo del grupo ortogonal O(n) \;. El grupo real SO(n) se puede identificar con el grupo de rotaciones del espacio \R^n.

El grupo especial unitario ordinariamente se toma como real, es decir, SO(n) = SO(n,\R) aunque también se han definido generalizaciones complejas SO(n,\mathbb{C}).

Contenido

Propiedades generales

  1. SO(n) tiene dimensión n(n-1)/2.
  2. SO(n) es conexo.

Grupos SO(n,R) reales

El grupo SO(2)

El grupo especial unitario real puede identificarse con el grupo de rotaciones del plano euclídeo. Y por tanto se trata de un grupo de Lie unidimensional. Existen varias representaciones de este grupo:

  1. SO(2) puede identificarse con el círculo unidad S^1\; con la operación: t + s\ \mbox{mod}\ 2\pi\; donde s,t \in [0, 2\pi)
  2. SO(2) puede identificarse con los números complejos de módulo unidad de la forma e^{i\theta}\;
  3. SO(2) es isomorfo a U(1), y por tanto identificable con él.
  4. Finalmente SO(2) admite representación como matrices 2x2 de la forma:

\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}

Este grupo es no es simplemente conexo, su grupo recubridor universal es (\R, +).

El grupo SO(3)

Este grupo es isomorfo al grupo de rotaciones del espacio euclídeo tridimensional y es representable por el conjunto de matrices ortogonales de 3x3 y con determinante igual la unidad.

El grupo SO(4)

Admite además de la representación como conjunto de matrices ortogonales de determinate uno, una representación basada en el álgebra de los cuaterniones.

De hecho cada uno de los subgrupos tridimensionales de las rotaciones isoclínicas de SO(4) puede ser identificado con el conjunto de los cuaterniones unitarios de la forma:

e^{i\alpha+j\beta+k\gamma} = \cos(\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2})+ \sin(\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2})\frac{i\alpha+j\beta+k\gamma}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}

Siendo α, β y γ números reales.

Grupos SO(n,C) complejos

El grupo SO(2,C)

Este grupo resulta ser isomorfo al grupo multiplicativo de los complejos (\mathbb{C}^*,\cdot). Topológicamente pueden ser representados por el plano complejo al que se le ha quitado el punto de origen (z = 0) y por tanto es un grupo conexo aunque no simplemente conexo.

Grupos SO(p,q) reales

Estos grupos constituyen una generalización de los grupos SO(n) reales, algunos de los cuales resultan útiles en física por ejemplo el grupo SO(3,1) puede identificarse con grupo de Lorentz especial que aparece en la teoría de la relatividad especial.


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Grupo — (del italiano gruppo), la pluralidad de elementos que forman un conjunto, puede hacer referencia a: Contenido 1 En matemáticas 2 En astronomía 3 En física …   Wikipedia Español

  • Grupo de Lie — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

  • Grupo unitario — En matemáticas, el grupo unitario UK(n) de grado n, es el grupo de matrices unitarias (de n x n) cuyas componentes pertenecen al cuerpo K. Estas matrices, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (Usualmente el cuerpo K… …   Wikipedia Español

  • Matriz ortogonal — Una matriz ortogonal es un matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal . Geométricamente las matrices ortogonales representan… …   Wikipedia Español

  • Grupo ortogonal — En matemática, el grupo ortogonal de grado n sobre un cuerpo F (escrito como O(n, F)) es el grupo de matrices ortogonales n por n con las entradas en F, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. Éste es un subgrupo del… …   Wikipedia Español

  • Grupo lineal general — En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial , denotdo como , es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio. Cuando el espacio vectorial es siendo un cuerpo F (tal como o …   Wikipedia Español

  • Grupo ortogonal — En matemáticas, el grupo ortogonal de grado n sobre un cuerpo F (escrito como O(n, F)) es el grupo de matrices ortogonales n por n con las entrad …   Enciclopedia Universal

  • Grupo espinorial — En matemáticas el grupo espinorial Spin(n) es un doble cubrimiento particular del grupo ortogonal especial SO(n, R). Es decir, existe una secuencia exacta corta de grupos de Lie: Para n > 2, Spin(n) es conexo así que coincide simplemente con… …   Wikipedia Español

  • Grupo espinorial — En matemáticas el grupo espinorial Spin(n) es un doble cubrimiento particular del grupo ortogonal especial SO(n, R). Es decir, existe una secuencia exacta corta de grupos de Lie Para n > 2, Spin(n) es conexo así que coincide simplemente con el …   Enciclopedia Universal

  • Grupo puntual — La flor Bauhinia blakeana representada en la bandera de Hong Kong tiene simetría C5; la estrella interior de cada pétalo tiene simetría D5. En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría)… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”