Grupo lineal general

En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial , denotdo como , es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio.

Cuando el espacio vectorial es siendo un cuerpo F (tal como o ), se escribe (en lugar de ) y se llama grupo lineal general de grado n sobre el cuerpo. Este último grupo puede ser pensado como el grupo de matrices inversibles n por n con las entradas en , con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (esto es ciertamente un grupo porque el producto de dos matrices inversibles es otra vez inversible, al igual que la inversa de una inversible.) Si el cuerpo es claro por contexto escribimos a veces , o .

El grupo lineal especial (SL), escrito o , es el subgrupo de de las matrices con determinante 1.

El grupo y sus subgrupos se llaman a menudo grupos lineales o grupos matriciales. Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupo, y también se presentan en el estudio de simetrías espaciales y de simetrías de los espacios vectoriales en general, así como el estudio de los polinomios.

Si n ≥ 2, el grupo no es grupo abeliano.

Grupo lineal general de un espacio vectorial

Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo , entonces escribimos o para el grupo de todos los automorfismos de , es decir el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V → V, junto con la composición funcional como operación de grupo. Si la dimensión de V es n, entonces y son isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de una base en V. Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede representar como una matriz inversible n por n, que establece el isomorfismo.

Grupo lineal del espacio euclídeo

Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o como espacio vectorial su grupo lineal estará representado por todas las aplicaciones lineales que admiten inversa. Si escogemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz. Entonces el grupo lineal vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de determinante diferente de cero).

Grupo lineal de un espacio normado

En un espacio vectorial normado E el grupo lineal GL(E) puede ser dotado de una topología inducida, y resulta ser un conjunto abierto dentro del conjunto de aplicaciones lineales o morfismos del espacio vectorial E.

GL sobre y

Si el cuerpo F es (los números reales) o (los números complejos), entonces GL(n) es un grupo de Lie real o complejo de dimensión real o compleja n². La razón es como sigue: GL(n) consiste en matrices con determinante diferente de cero, el determinante es una función (incluso un polinomio) continuo, y por lo tanto GL(n) es un subconjunto abierto no vacío de la variedad de todas las matrices n por n, que tiene dimensión n².

El álgebra de Lie que corresponde a GL(n) consiste en todas las matrices n × n sobre F, con el conmutador como el corchete de Lie.

Mientras que GL(n, C) es conexo, GL(n, R) tiene dos componentes conexas: las matrices con determinante positivo y las de determinante negativo. Las matrices reales n por n con determinante positivo forman un subgrupo del GL(n, R) denotado por GL⁺(n, R). Éste es también un grupo de Lie de dimensión real n² y tiene la misma álgebra de Lie que GL(n, R). GL⁺(n, R) es conexo.

Ni GL(n, C) ni GL⁺(n, R) son simplemente conexos (salvo, en el caso real, cuando n = 1). La variedad del grupo GL(n, C) tiene un grupo fundamental isomorfo a Z mientras que GL⁺(n, R) tiene un grupo fundamental isomorfo a Z para n = 2 y a Z₂ para n > 2.

GL sobre cuerpos finitos

Si F es un cuerpo finito con q elementos, entonces escribimos a veces GL(n, q) en vez de GL(n, F). GL(n, q) es un grupo finito con

(qⁿ - 1)(qⁿ - q) (qⁿ - q²)... (qⁿ - q^{n -1})

elementos. Esto puede ser demostrado contando las columnas posibles de la matriz: la primera columna puede ser todo menos la columna cero; la segunda columna puede ser todo menos los múltiplos de la primera columna, etc.

Grupo lineal especial

El grupo lineal especial, SL(n, F), es el grupo de todas las matrices con determinante 1. Que esto forma un grupo se sigue de la regla de multiplicación de determinantes. SL(n, F) es un subgrupo normal de GL(n, F).

Si escribimos F^× para el grupo multiplicativo de F (excluyendo el 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupos

det: GL(n, F) → F^×.

El núcleo de la función es precisamente el grupo lineal especial. Por el primer teorema del isomorfismo vemos que GL(n, F)/SL(n, F) es isomorfo a F^×. De hecho, GL(n, F) se puede escribir como producto semidirecto de SL(n, F) por el F^×:

GL(n, F) = SL(n, F) ⋊ F^×

Cuando F es R o C, SL(n) es un subgrupo de Lie de GL(n) de dimensión n²-1. El álgebra de Lie de SL(n) consiste en todas las matrices n × n sobre F con traza nula. El corchete de Lie viene dado por el conmutador.

El grupo lineal especial SL(n, R) se puede caracterizar como el grupo de las transformaciones lineales de Rⁿ que preservan el volumen y la orientación.

El grupo SL(n, C) es simplemente conexo mientras que no lo es SL(n ,R). SL(n, R) tiene el mismo grupo fundamental que GL⁺(n, R), es decir, Z para n = 2 y Z₂ para n > 2.

Otros subgrupos

Subgrupos diagonales

El conjunto de todas las matrices diagonales forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo a (F^×)ⁿ. En cuerpos como R y C, éstas corresponden al reescalado del espacio; las llamadas expansiones y contracciones.

Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante por la matriz identidad. El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero, (a veces denotado Z(n, F), forma un subgrupo de GL(n, F) isomorfo al F^×. Este grupo es el centro de GL(n, F). En particular, es un subgrupo normal, abeliano.

El centro de SL(n, F), denotado SZ(n, F), es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unidad. Obsérvese que SZ(n, C) es isomorfo a las raíces n-ésimas de la unidad.

Grupos clásicos

Los así llamados grupos clásicos son subgrupos de GL(V) que preserven una cierta clase de producto interior en V. Éstos incluyen el

• grupo ortogonal, O(V), que preserva una forma bilineal simétrica en V,
• grupo simpléctico, Sp(V), que preserva una forma bilineal anti-simétrica en V,
• grupo unitario, U(V), que preserva una forma hermitiana en V (cuando F = C).

Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de los grupos de Lie.

Asuntos relacionados

• grupo lineal proyectivo

• grupo afín

• representación de grupo