- Cuerpo de cocientes
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Cuerpo de cocientes
Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe "el menor cuerpo que lo contiene". De forma más precisa:
Sea R un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por R * al conjunto
. Establecemos en el conjunto
la relación
definida por
cuando y sólo cuando
. Es sencillo comprobar que
es una relación de equivalencia. Denotaremos por Q(R) al conjunto cociente
, y por
a la clase de equivalencia del elemento (a,b).
Contenido
Operaciones suma y producto en el cuerpo de cocientes.
Suma
Definimos la aplicación
de la siguiente manera:
, cualesquiera que sean
. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro
y que todo elemento
tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a
. Así, (Q(R), + ) es un grupo abeliano.
Producto
Definimos la aplicación
de la siguiente manera:
, cualesquiera que sean
. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro
y que todo elemento
tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a
. Así,
es un grupo abeliano.
Distributividad
Se demuestra sin dificultad que
es distributiva respecto de +. Esto hace que
quede dotado de estructura de cuerpo.
Véase también
Categoría: Álgebra abstracta
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