Cuerpo de cocientes

Cuerpo de cocientes

Cuerpo de cocientes

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe "el menor cuerpo que lo contiene". De forma más precisa:

Sea R un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por R * al conjunto R \setminus \{0\}. Establecemos en el conjunto R \times R^* la relación \mathcal{R} definida por (a,b) \mathcal{R} (c,d) cuando y sólo cuando a \cdot d = b \cdot c. Es sencillo comprobar que \mathcal{R} es una relación de equivalencia. Denotaremos por Q(R) al conjunto cociente \frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}, y por \frac{a}{b} a la clase de equivalencia del elemento (a,b).

Contenido

Operaciones suma y producto en el cuerpo de cocientes.

Suma

Definimos la aplicación +: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R) de la siguiente manera: + (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}, cualesquiera que sean \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R). Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro \frac{0}{1} y que todo elemento \frac{a}{b} \in Q(R) tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a - \frac{a}{b}. Así, (Q(R), + ) es un grupo abeliano.

Producto

Definimos la aplicación \cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R) de la siguiente manera: \cdot (\frac{a}{b},\frac{c}{d}) := \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}, cualesquiera que sean \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R) \setminus \{ 0 \}. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro \frac{1}{1} y que todo elemento \frac{a}{b} \in Q(R) tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a \frac{b}{a}. Así, (Q(R) \setminus \{ 0 \},\cdot) es un grupo abeliano.

Distributividad

Se demuestra sin dificultad que \cdot es distributiva respecto de +. Esto hace que (Q(R),+,\cdot) quede dotado de estructura de cuerpo.

Véase también

Obtenido de "Cuerpo de cocientes"

Wikimedia foundation. 2010.

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