- Numeración romana
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El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.
Contenido
Símbolos
La siguiente tabla muestra los símbolos válidos en el sistema de numeración romano, y sus equivalencias en el sistema decimal:
Romano Decimal Nota I 1 Unus V 5 Quinque. V es la mitad superior de X; en etrusco Λ. X 10 Decem L 50 Quinquaginta C 100 Letra inicial de Centum. D 500 Quingenti. D, es la mitad de la Digamma Φ (como phi). M 1000 Mille Originalmente era la letra Digamma. Orígenes
Aunque hoy los numerales romanos se escriben con letras del alfabeto romano, originalmente eran símbolos independientes. Los etruscos, por ejemplo, usaron I, Λ, X, ⋔, 8 y ⊕ para representar I, V, X, L, C, y M, de los cuales sólo la I y la X eran letras de su alfabeto. Según cierta etimología popular, la V representaba una mano y la X se hizo poniendo una V al derecho encima de otra V invertida. No obstante, tal parece que los numerales etruscorromanos vienen realmente de muescas, marcas o rayas que se tallaban en varas, palos y huesos para llevar conteos (como el hueso de Ishango), usados por pastores tanto dálmatas como italianos hasta el siglo XIX.[5]
Así, el numeral 'I' no desciende de la letra 'I' sino de una muesca tallada en la vara. Cada quinta muesca era una doble muesca (v.g. ⋀, ⋁, ⋋, ⋌, etc.), y cada décima muesca era un tache (X), IIIIΛIIIIXIIIIΛIIIIXII..., muy al estilo de las marcas de conteo europeas hasta hoy. Esto dio origen a un sistema posicional: ocho sobre una vara de cuentas eran ocho unidades, IIIIΛIII, o la octava de una serie mayor de conteos; como fuera, se podía abreviar ΛIII (o VIII), ya que la existencia de Λ implica cuatro muescas anteriores. Por extensión, el dieciocho era la octava muesca después de las primeras diez, lo que se podía abreviar con X, y así era XΛIII. Igualmente, el número cuatro en la vara era la marca de I que podía sentirse justo antes del corte de la Λ (V), así que podía escribirse IIII o IΛ (IV). Así el sistema en su concepción no era ni aditivo ni sustractivo sino ordinal. Cuando las cuentas se transfirieron a la escritura, las marcas se identificaron fácilmente con las letras romanas existentes I, V y X.
La décima V o X sobre la vara recibía un trazo extra. Así el 50 se escribía de modos distintos: N, И, K, Ψ, ⋔, etc., pero tal vez el más frecuente era una forma como una flecha apuntada hacia abajo, como una V y una I encimadas: ᗐ. Ésta se había achatado hasta formar una ⊥ (una T invertida) para la época de Augusto, y poco después se había identificado con la letra L, que se le parecía gráficamente. De igual modo, el cien se escribía de distintas maneras: Ж, ⋉, ⋈, H, o como cualquiera de los símbolos del cincuenta más un trazo extra. Llegó a predominar la forma Ж (o sea una X y una I encimadas). Se escribía >I< o bien ƆIC, luego se abrevió a Ɔ o bien C, y la variante C fue la que al final se impuso porque, como letra, representaba una abreviación de centum, que en latín significa "cien".
Cuando se juntaban cien v o cien X, la centésima X o V se marcaba con un recuadro o un círculo. Así, el 500 era como una Ɔ encimada a una ⋌ o una ⊢, es decir, como una Þ con una línea recta horizonal por en medio, convirtiéndose en una D o una Ð para la época de Augusto, bajo la influencia gráfica de la letra D; un símbolo alterno del "mil" se ve así: (I), y la mitad de mil, o sea "quinientos", es la mitad derecha del símbolo, o sea I), y esto pudo haberse convertido en D.[6] Ésta fue al menos la etimología popular que se dio posteriormente.
En tanto, el mil era una X encerrada en un círculo o un cuadrado: Ⓧ, ⊗, ⊕, y para la época agustina se identificaba parcialmente con la letra griega Φ phi. En diferentes tradiciones evolucionó entonces sobre distintas rutas. Algunas variantes, como Ψ y ↀ, fueron callejones sin salida históricos, aunque la etimología popular luego identificó la D con el valor de 500 como la mitad gráfica del símbolo Φ representativo del mil, debido a la variante CD. Un tercer linaje, ↀ, sobrevive hasta hoy en dos variantes:
- Una, CIƆ, llevó a la convención de usar paréntesis para indicar la multiplicación por mil: el original CIƆ = (I) 1000, luego (III) = 3000, (V) 5000, (IX) 9000, (X) 10 000, (L) 50 000, (C) 100 000, (D) 500 000, (M) 1000 000, etc. Esto se extendió luego a paréntesis dobles, como ↁ , ↂ, etc. Véanse más adelante las formas alternas.
- En la otra, el símbolo ↀ se convirtió en ∞ y en ⋈, cambiando finalmente a una M bajo la influencia de la palabra latina mille, que significa "mil".
Se presenta una versión alterna del origen de los números pequeños del sistema numeral romano en el libro The River Mathematics [Alfred Hooper. New York, H. Holt and Company, 1945]. Hooper alega que los dígitos corresponden a signos hechos con la mano. Por ejemplo, los números I, II, III y IIII corresponden a los números de dedos alzados a la vista de otra persona. Entonces, la V representa esa mano alzada con el pulgar separado de los demás dedos juntos. Los números del 6 a 10 se representan con dos manos como sigue (mano izquierda, mano derecha) 6=(V,I), 7=(V,II), 8=(V,III), 9=(V,IIII), 10=(V,V), y el símbolo X resulta de cruzar los pulgares o de alzar ambas manos formando una cruz.
Notación moderna
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.
Los múltiples símbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos valores, siguiendo ciertas reglas en la repetición. En los casos en que sea más pequeño, se permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el símbolo con un valor menor colocado antes que un valor más alto, de manera que, por ejemplo, se puede escribir IV o iv para cuatro, en lugar de IIII. Así, tenemos que los números no asignados a un símbolo se crean haciendo combinaciones como las siguientes:
Entrada a la sección LII del Coliseo, con los números aún visibles.
Romano mayúsculas Romano minúsculas Nominación II ii dos III iii tres IV iv cuatro VI vi seis VII vii siete VIII viii ocho IX ix nueve XXXII xxxii treinta y dos XLV xlv cuarenta y cinco Para números con valores igual o superiores a 4.000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1.000:
Romano (miles) Decimal Nominación V 5.000 cinco mil X 10.000 diez mil L 50.000 cincuenta mil C 100.000 cien mil D 500.000 quinientos mil M 1.000.000 un millón No existe formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar que la multiplicación se realiza por un millón. Como ejemplo, para mostrar un valor de diez millones se haría lo siguiente: (X)
Como sistema de numeración
, el inventario de signos es 
y el conjunto de reglas 
podría especificarse como:- Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
- El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.
- Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV=4, IX=9.
- Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
- Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.
- No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 10.
- Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor.
- Si un símbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta.
- Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos:
- - el símbolo I sólo puede restar a V y a X.
- - el símbolo X sólo resta a L y a C.
- - el símbolo C sólo resta a D y a M.
- Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.
No siempre se respetan estas reglas. En algunas inscripciones, o en relojes, aparece IIII en lugar de IV para indicar el valor 4.
A continuación aparecen algunos ejemplos de números no-válidos en el sistema de numeración romano, y la regla que incumplen.
Errónea Correcta Valor Motivo VL XLV 45 Letra de tipo 5 restando IIII IV 4 Más de tres repeticiones de letra tipo 1 VIV IX 9 Repetición de letra de tipo 5 CMM MCM 1.900 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor IXVI XV 15 Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor IVI V 5 Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta XXL XXX 30 Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda IC XCIX 99 Letra I restando a C IM CMXCIX 999 Letra I restando a M IXL XLI 41 Letras I y X adyacentes y restando XIL XXXIX 39 Letras I y X adyacentes y restando Fracciones
Una moneda triens (1/3 o 4/12 de un as). Los cuatro puntos •••• indican su valor.
Aunque los romanos empleaban un sistema decimal de numeración para los números enteros que reflejaba la forma de contar en latín, para las fracciones empleaban un sistema duodecimal. Un sistema basado en doceavos (12 = 3 × 2 × 2) permite manejar fracciones comunes como 1/3 y 1/4 con mayor facilidad que un sistema basado en décimos (10 = 2 × 5). Muchas monedas romanas, cuyo valor era una fracción duodecimal de la unidad, mostraban una notación basada en mitades y doceavos. Un punto • indicaba una uncia "doceavo", el origen etimológico de la palabra onza; y los puntos se concatenaban para representar fracciones de hasta cinco doceavos. Seis doceavos (un medio) se abreviaban con la letra S por semis "mitad". Para fracciones entre siete y once doceavos se añadían puntos uncia de la misma forma que se añaden trazos verticales a la V para indicar números enteros entre seis y nueve.Cada una de estas fracciones tenía un nombre que era el mismo que el de la moneda correspondiente:
Fracción Numeral Romano Nombre (nominativo y genitivo) Significado 1/12 • uncia, unciae "onza" 2/12 = 1/6 •• ó : sextans, sextantis "sexto" 3/12 = 1/4 ••• ó ∴ quadrans, quadrantis "cuarto" 4/12 = 1/3 •••• ó :: triens, trientis "tercio" 5/12 ••••• ó :•: quincunx, quincuncis "cinco onzas" (quinque unciae → quincunx) 6/12 = 1/2 S semis, semissis "mitad" 7/12 S• septunx, septuncis "siete onzas" (septem unciae → septunx) 8/12 = 2/3 S•• ó S: bes, bessis "doble" (se entiende "el doble de un tercio") 9/12 = 3/4 S••• ó S:• dodrans, dodrantis
o nonuncium, nonuncii"menos un cuarto" (de-quadrans → dodrans)
o "novena onza" (nona uncia → nonuncium)10/12 = 5/6 S•••• ó S:: dextans, dextantis
o decunx, decuncis"menos un sexto" (de-sextans → dextans)
o "diez onzas" (decem unciae → decunx)11/12 S••••• ó S:•: deunx, deuncis "menos una onza" (de-uncia → deunx) 12/12 = 1 I as, assis "unidad" La disposición de los puntos era variable y no necesariamente lineal. La figura formada por cinco puntos dispuestos como en la cara de un dado (:·:) se denomina quincunce por el nombre de la fracción y moneda romana. Las palabras latinas sextans y quadrans son el origen de las palabras sextante y cuadrante.
Estas son otras fracciones romanas
- 1/8 sescuncia, sescunciae (por sesqui- + uncia, es decir, 1½ uncias), representada por la secuencia del símbolo de la semuncia y el de la uncia.
- 1/24 semuncia, semunciae (por semi- + uncia, es decir, ½ uncia), representada por una variedad de glifos derivados de la letra griega sigma Σ. Hay una variante que se parece al símbolo de la libra £ pero sin la barra horizontal, y otra que se parece a la letra cirílica Є.
- 1/36 binae sextulae, binarum sextularum ("dos sextulas") o duella, duellae, representada por ƧƧ, es decir, dos letras S invertidas.
- 1/48 sicilicus, sicilici, representado por Ɔ, una C invertida.
- 1/72 sextula, sextulae (1/6 de uncia), representada por Ƨ, una S invertida.
- 1/144 dimidia sextula, dimidiae sextulae ("media sextula"), representada por ƻ, una S invertida y tachada por una línea horizontal.
- 1/288 scripulum, scripuli (un escrúpulo), representado por el símbolo ℈.
- 1/1728 siliqua, siliquae, representada por un símbolo similar a unas comillas latinas de cierre, ».
Ejemplos
A continuación se muestran varios ejemplos de numerales romanos, y sus equivalencias decimales:
Romana Decimal I 1 II 2 III 3 IV 4 V 5 VI 6 VII 7 VIII 8 IX 9 X 10 XI 11 XII 12 XX 20 XXX 30 XL 40 L 50 LX 60 LXX 70 LXXX 80 XC 90 LXIX 69 CDL 450 DCLXVI 666 CMXCIX 999 MCDXLIV 1.444 MMVIII 2.008 MMIX 2.009 MMXI 2.011 MMXII 2.012 MMXIII 2.013 MMXIV 2.014 MMXV 2.015 MMXVI 2.016 XVDX 15.510 Aritmética con Numeración Romana
Todas las operaciones aritméticas realizadas con numeración romana, al tratarse de un caso particular de numeración entera, pueden ser descompuestas en sumas y restas.
Suma
Numerales romanos en un manuscrito del siglo XVI.CXVI + XXIV = 140
Paso Descripción Ejemplo 1 Eliminar la notación substractiva IV → IIII 356 2 Concatenar los términos CXVI + XXIIII → CXVIXXIIII 3 Ordenar los numerales de mayor a menor CXVIXXIIII → CXXXVIIIII 4 Simplificar el resultado reduciendo símbolos IIIII → V; VV → X; CXXXVIIIII → CXXXX 5 Añadir notación substractiva XXXX → XL 6 Solución CXL Solución: CXVI + XXIV = CXL
El primer paso decodifica los datos posicionales en una notación única, lo que facilita la tarea aritmética. Con ello, el segundo paso, al tener una notación únicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una reordenación, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo que no es problema al no estar presente anotación substractiva. Una vez reordenados los símbolos, se agrupan los símbolos y se introduce de nuevo la notación substractiva, aplicando las reglas de numeración romana.
Resta
CXVI − XXIV = 92
Paso Descripción Ejemplo 1 Eliminar la notación substractiva IV → IIII 2 Eliminar los numerales comunes entre los términos CXVI − XXIIII → CV − XIII 3 Expandir los numerales del primer término hasta que aparezcan elementos del segundo. CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII − XIII 4 Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo término quede vacío LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII 5 Añadir notación substractiva LXXXXII → XCII 6 Solución XCII Solución: CXVI − XXIV = XCII
El 4 en los relojes
Reloj con numeración romana.Es común ver en muchos relojes el uso de IIII para el numeral 4, en lugar del correcto IV. Algunas de las supuestas razones por las que esto ha sido así son:
- Un relojero suizo entregó un reloj que su soberano le había encargado, pero cometió el error de representar el número 4 como IIII y no usando el IV. El monarca, indignado, hizo ejecutar al desafortunado artesano, y desde ese momento, a modo de protesta y homenaje, todos sus colegas comenzaron a usar el IIII en vez de IV.[cita requerida]
- El conjunto de cuatro caracteres IIII crea una simetría visual con su opuesto en la esfera VIII, cosa que el IV no logra.
- Poniendo IIII, el número de símbolos sobre el reloj es: 20 símbolos I, 4 símbolos V y 4 símbolos X, estos números son múltiplos de 4, por lo que es posible, para los fabricantes de reloj, hacer un molde para la fabricación de 5 símbolos I, una V y una X, con lo que esto supone de ahorro en la fabricación de los símbolos. También es posible hacer los moldes siguientes para su uso una sola vez:
-
- V IIII IX
- VI II IIX
- VII III X
- VIII I IX
- IIX invertido proporciona el XII. Además tenemos dos IX uno de los cuales, invertido, proporciona el XI.
- IIII fue preferido por los romanos en la antigüedad.
- También se sugería que el IV corresponde a las dos primeras letras de Júpiter, (IVPITER en latín), el dios romano, su uso, por tanto, no era apropiado.
- El símbolo I es el único que aparece en las primeras cuatro horas, el V aparece las siguientes cuatro horas y el X las siguientes cuatro, proporcionando una simetría rota usando el IV.
- IV es más difícil de leer con la inclinación en la esfera del reloj.
- Luis XIV, rey de Francia, prefería IIII sobre IV, por lo que ordenó a sus relojeros producir relojes con IIII en lugar de IV, instituyendo una costumbre que perdura.[1]
Véase también
- Sistema de numeración
- Sistema binario
- Sistema decimal
- Sistema octal
- Sistema hexadecimal
- Teoría de números
- Números arábigos
- Números
Referencias
- ↑ El historiador W.I. Milham afirma: "In the olden times, ‘IV’ was the sign of Jupiter, so the Romans wrote “IIII” so that the time wouldn’t show as “1 2 3 GOD 5…”
(...)The ‘IIII’ numeral is to balance out the weight of the clock. The heavier numbers on the left side of the clocks needed to be balanced by the heavier ‘IIII’ rather than the light ‘IV’
(...)There is a story that a famous clockmaker had constructed a clock for Louis XIV, king of France. The clockmaker had naturally used IV for four. When the clock was shown to the king, he remarked that IIII should have been used instead of IV. When it was explained to him that IV was correct, he still insisted, so that there was nothing to do but change the clock dial. This introduced the custom of using IIII for four. This is probably only a story, however, as IIII occurs long before the time of Louis XIV. "Time & Timekeepers, W. I. Milham, The Macmillan Company, New York, 1947, p. 196· En: [1]
Enlaces externos
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- Aritmética elemental
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