Sistema duodecimal

Sistema duodecimal

El sistema duodecimal es un sistema de numeración de base-doce.

Existen sociedades en Gran Bretaña y en los EEUU que promocionan el uso de la base-doce, argumentando lo siguiente:

  • El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12), que son 2, 3, 4 y 6; mientras que el 10 sólo tiene dos factores propios: 2 y 5. Debido a esto, las multiplicaciones y divisiones en base 12 son más sencillas (ver más adelante) y, por tanto, el sistema duodecimal es más eficiente que el decimal.
  • Históricamente, el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones. Se cree que la observación de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un año es el motivo por el cual el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas. Algunos ejemplos incluyen el año de 12 meses, 12 signos zodiacales, 12 animales en la astrología china, etc.
  • Debido a que el 12 es un número abundante, se emplea con profusión en las unidades de medida, por ejemplo, un pie son 12 pulgadas, una libra troy equivale a 12 onzas, una docena de artículos tiene 12 artículos, una gruesa tiene 12 docenas, etc.

Contenido

Fracciones y números irracionales

En cualquier sistema de numeración posicional de base racional (como el decimal y el duodecimal), todas aquellas fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factores primos distintos de los que factorizan la base, carecerán de representación finita, obteniéndose para ellas una serie infinita de dígitos de valor fraccionario (comúnmente llamados "decimales", si bien resulta absurdo emplear este término para bases distintas de la decimal). Además, esta serie infinita de dígitos presentará un período de recurrencia, dándose recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta (aquella en la que hay dígitos fraccionarios al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. Así pues, en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3; mientras que en base decimal se da esto cuando son distintos de 2 y 5:


Base decimal
Factores primos de la base: 2, 5		 Base duodecimal / docenal
Factores primos de la base: 2, 3
Fracción Factores primos
del denominador		 Representación posicional Representación posicional Factores primos
del denominador		 Fracción
1/2 2 0,5 0,6 2 1/2
1/3 3 0,33333333... 0,4 3 1/3
1/4 2 0,25 0,3 2 1/4
1/5 5 0,2 0,249724972497... 5 1/5
1/6 2, 3 0,166666666... 0,2 2, 3 1/6
1/7 7 0,142857142857142857... 0,186A35186A35186A35... 7 1/7
1/8 2 0,125 0,16 2 1/8
1/9 3 0,11111111... 0,14 3 1/9
1/10 2, 5 0,1 0,1249724972497... 2, 5 1/A
1/11 11 0,0909090909... 0,11111111... B 1/B
1/12 2, 3 0,0833333333... 0,1 2, 3 1/10
1/13 13 0,076923076923076923... 0,0B0B0B0B0B... 11 1/11
1/14 2, 7 0,0714285714285714285... 0,0A35186A35186A35186... 2, 7 1/12
1/15 3, 5 0,066666666... 0,0972497249724... 3, 5 1/13
1/16 2 0,0625 0,09 2 1/14
1/17 17 0,05882352941176470588235294117647... 0,08579214B36429A708579214B36429A7... 15 1/15
1/18 2, 3 0,055555555... 0,08 2, 3 1/16
1/19 19 0,052631578947368421052631578947368421... 0,076B45076B45076B45... 17 1/17
1/20 2, 5 0,05 0,0724972497249... 2, 5 1/18
1/21 3, 7 0,047619047619047619... 0,06A35186A35186A3518... 3, 7 1/19
1/22 2, 11 0,04545454545... 0,066666666... 2, B 1/1A
1/23 23 0,0434782608695652173913043478260869565... 0,0631694842106316948421... 1B 1/1B
1/24 2, 3 0,04166666666... 0,06 2, 3 1/20
1/25 5 0,04 0,05915343A0B605915343A0B6... 5 1/21
1/26 2, 13 0,0384615384615384615... 0,056565656565... 2, 11 1/22
1/27 3 0,037037037037... 0,054 3 1/23
1/28 2, 7 0,03571428571428571428... 0,05186A35186A35186A3... 2, 7 1/24
1/29 29 0,03448275862068965517241379310344827586... 0,04B704B704B7... 25 1/25
1/30 2, 3, 5 0,033333333... 0,0497249724972... 2, 3, 5 1/26
1/31 31 0,032258064516129032258064516129... 0,0478AA093598166B74311B28623A550478AA... 27 1/27
1/32 2 0,03125 0,046 2 1/28
1/33 3, 11 0,0303030303... 0,044444444... 3, B 1/29
1/34 2, 17 0,029411764705882352941176470588235... 0,0429A708579214B36429A708579214B36... 2, 15 1/2A
1/35 5, 7 0,0285714285714285714... 0,0414559B39310414559B3931... 5, 7 1/2B
1/36 2, 3 0,0277777777... 0,04 2, 3 1/30


Por otra parte, en cualquier sistema de numeración posicional de base racional, todo número irracional no sólo carece de representación finita, sino que además su serie infinita de dígitos carece de periodo de recurrencia. A continuación se ofrecen los primeros dígitos de la representación en base duodecimal de varios de los números irracionales más importantes. Como puede apreciarse, resulta más sencillo memorizar los nueve primeros dígitos de pi en base duodecimal que en base decimal, mientras que ocurre al contrario con los diez primeros dígitos del número e:


Número irracional En base decimal En base duodecimal
π (pi, la proporción entre circunferencia y diámetro) 3,141592653589793238462643... (~ 3,1416) 3,184809493B918664573A6211... (~ 3,1848)
e (la base del logaritmo natural o neperiano) 2,718281828459... (~ 2,718) 2,875236069821... (~ 2,875)
φ (fi, el número de oro o razón dorada) 1,618033988749... (~ 1,618) 1,74BB67728022... (~ 1,75)
√2 (la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario) 1,414213562373... (~ 1,414) 1,4B79170A07B7... (~ 1,5)
√3 (la longitud de la diagonal de un cubo unitario, o el doble de la altura de un triángulo equilátero) 1,732050807568... (~ 1,732) 1,894B97BB967B... (~ 1,895)
√5 (la longitud de la diagonal de un rectángulo 1×2) 2,236067977499... (~ 2,236) 2,29BB13254051... (~ 2,2A)


Los primeros dígitos en base duodecimal de otro número destacable, la constante de Euler-Mascheroni, pero de la que por el momento se desconoce si es racional o irracional:


Número En base decimal En base duodecimal
γ (la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural) 0,577215664901... (~ 0,577) 0,6B15188A6758... (~ 0,7)

Tabla de multiplicar

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100

Búsqueda de números primos

En base 12, un número primo sólo puede acabar en 1, 5, 7 ó B (con las únicas excepciones de los números primos 2 y 3). Las ocho posibilidades restantes generan siempre números compuestos:

  • Los acabados en 0, 2, 4, 6, 8 y A son múltiplos de dos
  • De éstos, los acabados en 0, 4 y 8 son además múltiplos de cuatro
  • Los acabados en 0, 3, 6 y 9 son múltiplos de tres
  • De éstos, los acabados en 0 y 6 son además múltiplos de seis
  • De todos los anteriores, los acabados en 0 son además múltiplos de doce

A continuación se lista la serie de números primos (hasta aquellos de menos tres dígitos) en base duodecimal:

En base duodecimal 2 3 5 7 B 11 15 17 1B 25 27 31 35 37 3B 45 4B 51 57 5B 61 67 6B 75 81 85 87 8B 91 95 A7 AB B5 B7 ...
En base decimal 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 ...

Véase también


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