Sólido de Johnson

Sólido de Johnson
La girobicúpula cuadrada elongada (J37), un sólido de Johnson.
Este ejemplo de 24 vértices no es un sólido de Johnson porque no es estrictamente convexo (tiene ángulos diédricos igual a cero).
Este ejemplo de Estrella octángula no es un sólido de Johnson porque no es convexo.

En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamente convexo, siendo cada una de sus caras un polígono regular. Por otra parte, no es un sólido platónico, ni un sólido de Arquímedes, ni un prisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros J1, que presenta una cara cuadrada y cuatro triangulares.

En un sólido convexo estricto, al menos tres caras concurren a un vértice, y el total de sus ángulos es menor a 360°. Dado que un polígono regular tiene ángulos de al menos 60°, a lo sumo pueden concurrir cinco caras en cada vértice. La pirámide de base pentagonal (J2) es un ejemplo de grado 5 (máximo).

Aunque no existen restricciones respecto a que un determinado polígono forme una cara de un sólido de Johnson, los polígonos aplicables siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 ó 10 lados.

Contenido

Historia

En 1946 el matemático norteamericano Norman Johnson publicó una lista de 92 sólidos, dándole nombres y número. Aunque no probó la imposibilidad de que existieran otros sólidos, hizo tal conjetura, y en 1969 Victor Zalgaller probó que la lista estaba completa.

Entre los sólidos enumerados, la girobicúpula cuadrada elongada (J37) resulta única por tener vértices uniformes: cuatro caras concurren a cada vértice, y su disposición es siempre la misma; tres cuadrados y un triángulo.

Nomenclatura

Los nombres listados son más descriptivos de lo que pueda parecer a simple vista. La mayoría de los sólidos de Johnson pueden construirse a partir de una pirámide, una cúpula o una rotonda, junto a sólidos platónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas.

  • Bi- significa que hay dos copias de un sólido dado unidas base con base. En el caso de las cúpulas y rotondas, se pueden unir de manera que se encuentren caras similares (orto-) o disimilares (giro-). Según esta nomenclatura, un octaedro sería una bipirámide cuadrada, un cuboctaedro sería una girobicúpula triangular y un icosidodecaedro sería una girobirrotonda pentagonal.
  • Elongado significa que se ha unido un prisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Según esta nomenclatura, un rombicuboctaedro sería una ortobicúpula cuadrada elongada.
  • Giroelongado significa que se ha unido un antiprisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman un sólido dado. Un icosaedro sería una bipirámide pentagonal giroelongada.
  • Aumentado significa que se ha unido una pirámide o cúpula a una de las caras del sólido dado.
  • Disminuido significa que se ha quitado una pirámide o cúpula de un sólido dado.
  • Giroide significa que se ha rotado una cúpula del sólido de forma que encaje de forma distinta. Un ejemplo está en la diferencia entre las orto- y las girobicúpulas.

Las tres últimas operaciones — aumento, disminución y giro — se pueden realizar más de una vez en un sólido lo suficientemente grande. Si se ha realizado una de estas operaciones dos veces, se indica con el prefijo bi- (por ejemplo, un bigiroide es un sólido que tiene dos de sus cúpulas rotadas); y si se ha realizado tres veces se indica con el prefijo tri- (por ejemplo, un sólido tridisminuido es aquél al que se le han quitado tres de sus pirámides o cúpulas).

A veces los prefijos bi- y tri- dan lugar a ambigüedad. En el caso de que sea necesario distinguir entre un sólido al que se han alterado dos caras paralelas y uno al que se han alterado dos caras oblicuas, se indica la diferencia con los prefijos para- y meta-, respectivamente. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado es aquel al que se han aumentado dos caras paralelas, mientras que a un sólido metabiaumentado se le han aumentado dos caras oblicuas.

Enumeración

Jn Nombre Desarrollo Imagen V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simetría
1 Pirámide cuadrada Johnson solid 1 net.png Square pyramid.png 5 8 5 4 1 C4v
2 Pirámide pentagonal Johnson solid 2 net.png Pentagonal pyramid.png 6 10 6 5 1 C5v
3 Cúpula triangular Johnson solid 3 net.png Triangular cupola.png 9 15 8 4 3 1 C3v
4 Cúpula cuadrada Johnson solid 4 net.png Square cupola.png 12 20 10 4 5 1 C4v
5 Cúpula pentagonal Johnson solid 5 net.png Pentagonal cupola.png 15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 Rotonda pentagonal Johnson solid 6 net.png Pentagonal rotunda.png 20 35 17 10 6 1 C5v
7 Pirámide triangular elongada (o tetraedro elongado) Johnson solid 7 net.png Elongated triangular pyramid.png 7 12 7 4 3 C3v
8 Pirámide cuadrada elongada (o cubo aumentado) Johnson solid 8 net.png Elongated square pyramid.png 9 16 9 4 5 C4v
9 Pirámide pentagonal elongada Johnson solid 9 net.png Elongated pentagonal pyramid.png 11 20 11 5 5 1 C5v
10 Pirámide cuadrada giroelongada Johnson solid 10 net.png Gyroelongated square pyramid.png 9 20 13 12 1 C4v
11 Pirámide pentagonal giroelongada (o icosaedro disminuido) Johnson solid 11 net.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png 11 25 16 15 1 C5v
12 Bipirámide triangular Johnson solid 12 net.png Triangular dipyramid.png 5 9 6 6 D3h
13 Bipirámide pentagonal Johnson solid 13 net.png Pentagonal dipyramid.png 7 15 10 10 D5h
14 Bipirámide triangular elongada Johnson solid 14 net.png Elongated triangular dipyramid.png 8 15 9 6 3 D3h
15 Bipirámide cuadrada elongada
(o cubo biaumentado)		 Johnson solid 15 net.png Elongated square dipyramid.png 10 20 12 8 4 D4h
16 Bipirámide pentagonal elongada Johnson solid 16 net.png Elongated pentagonal dipyramid.png 12 25 15 10 5 D5h
17 Bipirámide cuadrada giroelongada Johnson solid 17 net.png Gyroelongated square dipyramid.png 10 24 16 16 D4d
18 Cúpula triangular elongada Johnson solid 18 net.png Elongated triangular cupola.png 15 27 14 4 9 1 C3v
19 Cúpula cuadrada elongada
(Rombicuboctaedro disminuido)		 Johnson solid 19 net.png Elongated square cupola.png 20 36 18 4 13 1 C4v
20 Cúpula pentagonal elongada Johnson solid 20 net.png Elongated pentagonal cupola.png 25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 Rotonda pentagonal elongada Johnson solid 21 net.png Elongated pentagonal rotunda.png 30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 Cúpula triangular giroelongada Johnson solid 22 net.png Gyroelongated triangular cupola.png 15 33 20 16 3 1 C3v
23 Cúpula cuadrada giroelongada Johnson solid 23 net.png Gyroelongated square cupola.png 20 44 26 20 5 1 C4v
24 Cúpula pentagonal giroelongada Johnson solid 24 net.png Gyroelongated pentagonal cupola.png 25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 Rotonda pentagonal giroelongada Johnson solid 25 net.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png 30 65 37 30 6 1 C5v
26 Girobifastigium Johnson solid 26 net.png Gyrobifastigium.png 8 14 8 4 4 D2d
27 Ortobicúpula triangular
(Cuboctaedro girado)		 Johnson solid 27 net.png Triangular orthobicupola.png 12 24 14 8 6 D3h
28 Ortobicúpula cuadrada Johnson solid 28 net.png Square orthobicupola.png 16 32 18 8 10 D4h
29 Girobicúpula cuadrada Johnson solid 29 net.png Square gyrobicupola.png 16 32 18 8 10 D4d
30 Ortobicúpula pentagonal Johnson solid 30 net.png Pentagonal orthobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5h
31 Girobicúpula pentagonal Johnson solid 31 net.png Pentagonal gyrobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5d
32 Ortocupularrotonda pentagonal Johnson solid 32 net.png Pentagonal orthocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
33 Girocupularrotonda pentagonal Johnson solid 33 net.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
34 Ortobirrotonda pentagonal
(Icosidodecaedro girado)		 Johnson solid 34 net.png Pentagonal orthobirotunda.png 30 60 32 20 12 D5h
35 Ortobicúpula triangular elongada Johnson solid 35 net.png Elongated triangular orthobicupola.png 18 36 20 8 12 D3h
36 Girobicúpula triangular elongada Johnson solid 36 net.png Elongated triangular gyrobicupola.png 18 36 20 8 12 D3d
37 Girobicúpula cuadrada elongada
(Rombicuboctaedro girado)		 Johnson solid 37 net.png Elongated square gyrobicupola.png 24 48 26 8 18 D4d
38 Ortobicúpula pentagonal elongada Johnson solid 38 net.png Elongated pentagonal orthobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5h
39 Girobicúpula pentagonal elongada Johnson solid 39 net.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5d
40 Ortocupularrotonda pentagonal elongada Johnson solid 40 net.png Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
41 Girocupularrotonda pentagonal elongada Johnson solid 41 net.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
42 Ortobirrotonda pentagonal elongada Johnson solid 42 net.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5h
43 Girobirrotonda pentagonal elongada Johnson solid 43 net.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5d
44 Bicúpula triangular giroelongada
(2 formas asimétricas)		 Johnson solid 44 net.png Gyroelongated triangular bicupola.png 18 42 26 20 6 D3
45 Bicúpula cuadrada giroelongada
(2 formas asimétricas)		 Johnson solid 45 net.png Gyroelongated square bicupola.png 24 56 34 24 10 D4
46 Bicúpula pentagonal giroelongada
(2 formas asimétricas)		 Johnson solid 46 net.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png 30 70 42 30 10 2 D5
47 Cupularrotonda pentagonal giroelongada
(2 formas asimétricas)		 Johnson solid 47 net.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png 35 80 47 35 5 7 C5
48 Birrotonda pentagonal giroelongada
(2 formas asimétricas)		 Johnson solid 48 net.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png 40 90 52 40 12 D5
49 Prisma triangular aumentado Johnson solid 49 net.png Augmented triangular prism.png 7 13 8 6 2 C2v
50 Prisma triangular biaumentado Johnson solid 50 net.png Biaugmented triangular prism.png 8 17 11 10 1 C2v
51 Prisma triangular triaumentado Johnson solid 51 net.png Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 14 D3h
52 Prisma pentagonal aumentado Johnson solid 52 net.png Augmented pentagonal prism.png 11 19 10 4 4 2 C2v
53 Prisma pentagonal biaumentado Johnson solid 53 net.png Biaugmented pentagonal prism.png 12 23 13 8 3 2 C2v
54 Prisma hexagonal aumentado Johnson solid 54 net.png Augmented hexagonal prism.png 13 22 11 4 5 2 C2v
55 Prisma hexagonal parabiaumentado Johnson solid 55 net.png Parabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 D2h
56 Prisma hexagonal metabiaumentado Johnson solid 56 net.png Metabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 C2v
57 Prisma hexagonal triaumentado Johnson solid 57 net.png Triaugmented hexagonal prism.png 15 30 17 12 3 2 D3h
58 Dodecaedro aumentado Johnson solid 58 net.png Augmented dodecahedron.png 21 35 16 5 11 C5v
59 Dodecaedro parabiaumentado Johnson solid 59 net.png Parabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 D5d
60 Dodecaedro metabiaumentado Johnson solid 60 net.png Metabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 C2v
61 Dodecaedro triaumentado Johnson solid 61 net.png Triaugmented dodecahedron.png 23 45 24 15 9 C3v
62 Icosaedro metabidisminuido Johnson solid 62 net.png Metabidiminished icosahedron.png 10 20 12 10 2 C2v
63 Icosaedro tridisminuido Johnson solid 63 net.png Tridiminished icosahedron.png 9 15 8 5 3 C3v
64 Icosaedro tridisminuido aumentado Johnson solid 64 net.png Augmented tridiminished icosahedron.png 10 18 10 7 3 C3v
65 Tetraedro truncado aumentado Johnson solid 65 net.png Augmented truncated tetrahedron.png 15 27 14 8 3 3 C3v
66 Cubo truncado aumentado Johnson solid 66 net.png Augmented truncated cube.png 28 48 22 12 5 5 C4v
67 Cubo truncado biaumentado Johnson solid 67 net.png Biaugmented truncated cube.png 32 60 30 16 10 4 D4h
68 Dodecaedro truncado aumentado Johnson solid 68 net.png Augmented truncated dodecahedron.png 65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 Dodecaedro truncado parabiaumentado Johnson solid 69 net.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 Dodecaedro truncado metabiaumentado Johnson solid 70 net.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 Dodecaedro truncado triaumentado Johnson solid 71 net.png Triaugmented truncated dodecahedron.png 75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 Rombicosidodecaedro giroide Johnson solid 72 net.png Gyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C5v
73 Rombicosidodecaedro parabigiroide Johnson solid 73 net.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 D5d
74 Rombicosidodecaedro metabigiroide Johnson solid 74 net.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C2v
75 Rombicosidodecaedro trigiroide Johnson solid 75 net.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C3v
76 Rombicosidodecaedro disminuido Johnson solid 76 net.png Diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 Rombicosidodecaedro paragiroide disminuido Johnson solid 77 net.png Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 Rombicosidodecaedro metagiroide disminuido Johnson solid 78 net.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 Rombicosidodecaedro bigiroide disminuido Johnson solid 79 net.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 Rombicosidodecaedro parabidisminuido Johnson solid 80 net.png Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 Rombicosidodecaedro metabidisminuido Johnson solid 81 net.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 Rombicosidodecaedro giroide bidisminuido Johnson solid 82 net.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 Rombicosidodecaedro tridisminuido Johnson solid 83 net.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png 45 75 32 5 15 9 3 C3v
84 Biesfenoide romo
(Dodecaedro siamés)		 Johnson solid 84 net.png Snub disphenoid.png 8 18 12 12 D2d
85 Antiprisma cuadrado romo Johnson solid 85 net.png Snub square antiprism.png 16 40 26 24 2 D4d
86 Esfenocorona Johnson solid 86 net.png Sphenocorona.png 10 22 14 12 2 C2v
87 Esfenocorona aumentada Johnson solid 87 net.png Augmented sphenocorona.png 11 26 17 16 1 Cs
88 Esfenomegacorona Johnson solid 88 net.png Sphenomegacorona.png 12 28 18 16 2 C2v
89 Hebesfenomegacorona Johnson solid 89 net.png Hebesphenomegacorona.png 14 33 21 18 3 C2v
90 Biesfenocíngulo Johnson solid 90 net.png Disphenocingulum.png 16 38 24 20 4 D2d
91 Bilunabirrotonda Johnson solid 91 net.png Bilunabirotunda.png 14 26 14 8 2 4 D2h
92 Hebesfenorrotonda triangular Johnson solid 92 net.png Triangular hebesphenorotunda.png 18 36 20 13 3 3 1 C3v

Referencias

  • Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros.
  • Victor A. Zalgaller (1969). Consultants Bureau. ed. Convex Polyhedra with Regular Faces. No ISBN.  Primera prueba de que sólo hay 92 sólidos de Johnson.

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