Principio de Hamilton modificado

Principio de Hamilton modificado

Principio de Hamilton modificado

El principio de Hamilton modificado es un principio variacional similar al principio de Hamilton, pero aplicado a la formulación hamiltoniana de la mecánica en vez de a la lagragiana.

Significado físico y formulación matemática

El principio de Hamilton modificado dice que en sistemas como los descritos anteriormente, usualmente llamados monógenos, el movimiento del sistema entre el tiempo t1 y t2 es tal que la integral de línea :

\delta I=\delta \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t),t) dt = 0,

que puede expresarse, mediante la transformada de Legendre en la siguiente expresión que emplea el hamiltoniano,

\delta I=\delta \int_{t_1}^{t_2} (p_i\dot{q_i}-H(q(t),p(t),t)) dt = 0,

tiene un valor estacionario para el camino del movimiento correcto.

El principal interés del principio de Hamilton modificado es que a partir de él se pueden obtener las ecuaciones canónicas del movimiento [Goldstein, 2000:353,354] utilizando las 2n ecuaciones de Euler-Lagrange, siendo n los grados de libertad del sistema y equiparando p_i\dot{q_i}-H(q(t),p(t),t) a una función f(q,\dot{q},p,\dot{p},t) dependiente de las posiciones, los momentos y sus derivadas primeras.

\delta I=\delta \int_{t_1}^{t_2} f(q,\dot{q},p,\dot{p},t) dt = 0,

Se realiza el planteamiento de las ecuaciones de Euler-Lagrange,

{d \over dt} \left( {\partial f \over \partial \dot{q_j}} \right) - {\partial f \over \partial q_j} = 0; j=1,...,n

{d \over dt} \left( {\partial f \over \partial \dot{p_j}} \right) - {\partial f \over \partial p_j} = 0; j=1,...,n

De la primera de ellas se obtiene la ecuación canónica:

\dot{p_j} + {\partial H \over \partial q_j} = 0,

{\partial H \over \partial q_j} = -\dot{p_j}.

mientras que de la segunda se obtiene:

\dot{q_j} - {\partial H \over \partial p_j} = 0,

{\partial H \over \partial p_j} = \dot{q_j}.

Referencias

  • Goldstein, Herbert (2000). Classical Mechanics. New York: Addison-Wesley. 978-0201657029.
Obtenido de "Principio de Hamilton modificado"

Wikimedia foundation. 2010.

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