Pseudoesfera

Pseudoesfera

Pseudoesfera

Pseudoesfera
Tractriz (curva en azul).
El dominio coloreado en el plano hiperbólico (modelo del disco de Poincaré) es isométrico a media pseudoesfera menos su generatriz. El horodisco que lo contiene se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera. Las líneas negras (que son geodésicas del plano hiperbólico) separan las diferentes hojas de dicho recubridor.

Una pseudoesfera es la superficie de revolución que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla.

El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de la tractriz (el punto P0 en la ilustración) se llama radio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesfera consta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia, de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma.

La motivación del nombre de "pseudoesfera" proviene de ciertas analogías existentes con la esfera de dimensión 2: ésta tiene curvatura constante positiva, mientras que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa. Aunque la pseudoesfera no es una superficie acotada, su área es finita, así como el volumen de la región que encierra. Las fórmulas que dan su área A y su volumen V en función de su radio R son las mismas que para la esfera (y pueden calcularse a partir de las fórmulas usuales para superficies de revolución):

A = 4 \pi R^2, \quad V = \frac{4}{3} \pi R^3

Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa, es localmente isométrica al plano hiperbólico, y de hecho media pseudoesfera menos una de sus generatrices es isométrica a un abierto del plano hiperbólico. Por este motivo, la pseudoesfera es un modelo útil para visualizar parte de dicho plano como superficie en el espacio euclídeo usual.

Este abierto del plano hiperbólico está bordeado por tres curvas: un trozo de horocírculo y dos geodésicas con extremo común en infinito, como muestra el dibujo. Además, el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera.

Parametrización de la pseudoesfera

Teniendo en cuenta que es una superficie de revolución, la pseudoesfera de radio 1 se puede parametrizar por:

(1) \begin{cases} x = \operatorname{sech} u\, \cos v\\ y = \operatorname{sech} u\, \sin v\\ z = u-\operatorname{tanh} u\\ \end{cases}

para u\in\mathbb{R},\ v\in [0,2\pi).


Véase también

Obtenido de "Pseudoesfera"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Esfera — Para otros usos de este término, véase Esfera (desambiguación). Proyección en dos dimensiones de una esfera definida mediante paralelos y meridianos. En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos …   Wikipedia Español

  • Modelos de geometría no euclidiana — Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de geometría que no cumplen el quinto postulado de Euclides, el que establece que dos rectas paralelas son equidistantes. En los modelos geométricos hiperbólicos (geometría… …   Wikipedia Español

  • Disco de Poincaré — de gran rombitruncado {3,7} teselado …   Wikipedia Español

  • Métrica de De Sitter — El espacio de De Sitter (nombrado así por Willem de Sitter[1] ) es una variedad lorentziana (un espacio tiempo) análogo a la esfera en geometría riemanniana. Posee curvatura constante y positiva y es maximalmente simétrico. En dimensión n se le… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”