Tangente (trigonometría)

Tangente (trigonometría)
Este artículo trata sobre el concepto en trigonometría. Para otros usos de este término, véase tangente.
Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

 \tan(\alpha) = \frac{a}{b}

O también como la relación entre el seno y el coseno:

 \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,

Contenido

Representación gráfica

FunTriR001.svg

Tangente de una suma o de una resta de ángulos

Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocidas para el seno y el coseno

  • Sabiendo que
 \forall \, \phi,\theta \in \mathbb{R}
  • Se sabe que la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, entonces

   \tan\left(\phi+\theta\right) =
   \cfrac{\sin(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}
  • Reemplazando por las identidades antes mencionadas tenemos que

   \tan\left(\phi+\theta\right) =
   \cfrac{
      \sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta
   }{
      \cos \phi \cos \theta - \sin \phi \sin \theta
   }
  • Divido al numerador y al denomidador por \cos\phi\cos\theta\, obteniendo

   \tan \left( \phi + \theta \right) = 
   \cfrac{
      \cfrac{
         \sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta
      }{
         \cos \phi \cos \theta
      }
   }{
      \cfrac{
        \cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      }
   }
  • Separando la suma y la resta queda

   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \cfrac{
      \cfrac{
         \sin\phi\cos\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      } + 
      \cfrac{
         \cos\phi\sin\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      }
   }{
      \cfrac{
         \cos\phi\cos\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      } -
      \cfrac{
         \sin\phi\sin\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      }
   }
  • Simplificamos cada fracción, entonces

   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \cfrac{
      \cfrac{
         \sin \phi
      }{
         \cos \phi
      } +
      \cfrac{
         \sin \theta
      }{
         \cos \theta
      }
   }{ 1 -
      \cfrac{
         \sin \phi \sin \theta
      }{
         \cos \phi \cos \theta
      }
   }
  • Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente obtenemos

   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \cfrac{
      \tan \phi + \tan \theta
   }{
      1 - \tan \phi \tan \theta
   }

Tangente de la diferencia de dos ángulos

  • Si hacemos

   \tan \left( \phi + (- \theta) \right) =
   \frac{
      \tan \phi + \tan (-\theta)
   }{
      1 - \tan \phi \tan (-\theta)
   }
  • obtenemos la resta. Como la tangente es impar, el signo sale

   \tan \left( \phi - \theta \right) =
   \frac{
      \tan \phi - \tan \theta
   }{
      1 + \tan \phi \tan \theta
   }

Forma resumida

\tan\left(\phi\pm\theta\right)=\frac{\tan\phi\pm\tan\theta}{1\mp\tan\phi\tan\theta}

Tangente de un ángulo doble

Tenemos que


   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \frac{
      \tan \phi + \tan \theta
   }{
      1 - \tan \phi \tan \theta
   }

Hagamos \phi=\theta\, entonces


   \tan \left( 2 \phi \right) =
   \frac{
      2 \tan \phi
   }{
      1 - \tan^2 \phi
   }

Véase también

Enlaces externos


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