Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) ó π/2 radianes.

(Clasificación por amplitud de sus ángulos)
Triángulos
Rectángulos
Oblicuángulos
Obtusángulos
Acutángulos


Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
a = +\sqrt {c^2 - b^2} b= +\sqrt{c^2-a^2} c = +\sqrt {a^2 + b^2}

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.

Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos.

Contenido

Nombre de sus elementos (designación convencional)

Los elementos principales de un triángulo rectángulo son: vértices, lados y ángulos.
Para la designación convencional de los mismos véase → ( [1] )

Relaciones métricas

Triângulo retângulo.svg

En un triángulo rectángulo:

La medida de un cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

\frac{a}{b} = \frac{b}{m}    , también se cumple:    \frac{a}{c} = \frac{c}{n}

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

\frac{m}{h} = \frac{h}{n}    , es decir:    h^2 = m \cdot n \,

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calculase como:

h_a=\frac{b\cdot c}{a}   ;   hb = c   ;   hc = b

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas sobre los respectivos lados.

La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:

a^2 = b^2 + c^2 \,

donde a \, es la medida de la hipotenusa.

Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo \alpha \; con vértice en A, son:

Triángulo-en-círculo.svg

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

\text{sen}(\alpha)= \frac{a}{c}

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

\cos(\alpha)= \frac{b}{c}

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

\tan(\alpha)= \frac{a}{b}

Área

fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1) A = \frac{b \cdot a}{2}

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).


En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

A = \frac{cateto1 \cdot cateto2}{2}

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[2] de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

Notas

  1. ↑
    Triángulos — Resumen de convenciones de designación
    Vértices A B C
    Lados (como segmento) BC AC AB
    Lados (como longitud) a b c
    Ángulos \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}
  2. ↑ Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".

Véase también

Enlaces externos


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