Teoría de modelos

En matemática, teoría de modelos es el estudio de (clases de) estructuras matemáticas tales como grupos, cuerpos, grafos, o incluso universos de teoría de conjuntos, usando herramientas de la lógica matemática. Una estructura que da sentido a las oraciones de un lenguaje formal se llama modelo para el lenguaje. Si un modelo para un lenguaje satisface además una oración o una teoría (conjunto de oraciones), se llama modelo de una oración o teoría. La teoría de modelos tiene fuertes lazos con el álgebra y el álgebra universal.

Este artículo se enfoca en teoría finitaria de modelos de primer orden de estructuras infinitas. La teoría de modelos finitos, la cual se concentra en estructuras finitas, diverge significativamente del estudio de estructuras infinitas tanto en los problemas estudiados como en las técnicas usadas. La teoría de modelos en lógicas de orden superior o lógicas infinitarias está obstaculizada por el hecho de que la completitud no se cumple para estas lógicas. Sin embargo, un considerable estudio ha sido realizado en esos lenguajes.

La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos (probado por Paul Cohen y Kurt Gödel) son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos. Se ha probado que tanto el axioma de elección como su negación son consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Y la hipótesis del continuo, es lógicamente independiente, de los axiomas de Zermelo-Fraenkel y el axioma de elección. Estos resultados son ejemplos de aplicaciones de la teoría de modelos a la teoría axiomática de conjuntos.

Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.

La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.

Véase también

• Lista de teorías de primer orden

Referencias

• Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1
• Wilfrid Hodges, Model theory (1993) Cambridge University Press.
• C. C. Chang, H. J. Keisler Model theory (1977) ISBN 0-7204-0692-7
• David Marker Model Theory: An Introduction (2002) Springer-Verlag, ISBN 0-387-98760-6
• María Manzano, Teoría de Modelos, (1989), Madrid, Alianza, ISBN 84-206-8126-1
• María Manzano, Model Theory, (1999), Oxford, Oxford University Press, ISBN 0-19-853851-0