Función gamma inversa

Función gamma inversa
Gráfica de 1/Γ(x) a lo largo del eje real.
Función gamma inversa 1/Γ(z) en el plano complejo. El color de un punto z codifica el valor de 1/Γ(z). Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono denota el valor del argumento.

En matemática, la función gamma inversa es la función

f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)},

donde Γ(z) denota la función gamma. Puesto que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en cualquier lugar del plano complejo, su inversa es una función entera. La inversa es usada a veces como punto de inicio para cálculos numéricos de la función gamma, y unas pocas librerías proporcionan separadamente ésta de la función gamma normal.

Karl Weierstrass llamó a la función gamma inversa el "factorielle" y la usó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass.

Contenido

Representación en forma de serie de Taylor

La expansión en forma de serie de Taylor en torno a 0 viene dada por

\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Para k > 2, el coeficiente ak para el término zk puede ser calculado recursivamente como

a_k = k a_1 a_k - a_2 a_{k-1} + \sum_{j=2}^{k-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{k-j}

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann.

Representación en forma de integral de contorno

Una representación integral dada por Hermann Hankel es

\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_C (-t)^{-z} e^{-t} dt,

donde C es el camino que rodea 0 en la dirección positiva, comenzando y volviendo al infinito positivo con respecto del corte de rama a lo largo del eje real positivo. De acuerdo con Schmelzer y Trefethen, la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores algoritmos para calcular la función gamma.

Integral a lo largo del eje real

La integración de la función gamma inversa a lo largo del eje real positivo da el valor

\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,

el cual es conocido como constante de Fransén–Robinson.

Véase también

  • Función de Bessel–Clifford
  • Distribución gamma inversa

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Mira otros diccionarios:

  • Función gamma — en el eje real. Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo …   Wikipedia Español

  • Función error — Gráfica de la función error. En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss) es una función especial (no elemental) que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y las ecuaciones diferenciales… …   Wikipedia Español

  • Función polilogarítmica — El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial definida por la siguiente serie: Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es …   Wikipedia Español

  • Función cuantil — En probabilidad la función cuantil de una distribución de probabilidad es la inversa de la función de distribución.[1] Dada una función de distribución continua y estrictamente monótona, , la función cuantil, F −1, devuelve un valor x tal… …   Wikipedia Español

  • Transformada inversa de Laplace — Para otros usos de este término, véase Transformada (desambiguación). En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad donde es la transformada de Laplace. La transformada de… …   Wikipedia Español

  • Leonhard Euler — Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Bruck …   Wikipedia Español

  • Derivadas — Anexo:Derivadas Saltar a navegación, búsqueda La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con… …   Wikipedia Español

  • Espacio de color sRGB — Saltar a navegación, búsqueda Diagrama cromático xy de CIE 1931 mostrando el espectro del espacio sRGB y situación de los colores primarios. El punto blanco D65 se encuentra en el centro. El Espacio de color sRGB, o Estándar RGB (Red Green Blue) …   Wikipedia Español

  • Fracción continua de Gauss — Saltar a navegación, búsqueda En análisis complejo la fracción continua de Gauss es un caso particular de fracción continua generalizada derivada de la serie hipergeométrica. Fue una de las primeras fracciones continuas analíticas conocidas en… …   Wikipedia Español

  • 3-esfera — Proyección estereográfica de los paralelos de una hiperesfera (rojo), los meridianos (azul) y los hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad conforme de la proyección estereográfica, todas estas curvas se intersecan unas a otras… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”