Función gamma inversa

Función gamma inversa
Gráfica de 1/Γ(x) a lo largo del eje real.
Función gamma inversa 1/Γ(z) en el plano complejo. El color de un punto z codifica el valor de 1/Γ(z). Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono denota el valor del argumento.

En matemática, la función gamma inversa es la función

f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)},

donde Γ(z) denota la función gamma. Puesto que la función gamma es meromorfa y distinta de cero en cualquier lugar del plano complejo, su inversa es una función entera. La inversa es usada a veces como punto de inicio para cálculos numéricos de la función gamma, y unas pocas librerías proporcionan separadamente ésta de la función gamma normal.

Karl Weierstrass llamó a la función gamma inversa el "factorielle" y la usó en su desarrollo del teorema de factorización de Weierstrass.

Contenido

Representación en forma de serie de Taylor

La expansión en forma de serie de Taylor en torno a 0 viene dada por

\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Para k > 2, el coeficiente ak para el término zk puede ser calculado recursivamente como

a_k = k a_1 a_k - a_2 a_{k-1} + \sum_{j=2}^{k-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{k-j}

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann.

Representación en forma de integral de contorno

Una representación integral dada por Hermann Hankel es

\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_C (-t)^{-z} e^{-t} dt,

donde C es el camino que rodea 0 en la dirección positiva, comenzando y volviendo al infinito positivo con respecto del corte de rama a lo largo del eje real positivo. De acuerdo con Schmelzer y Trefethen, la evaluación numérica de la integral de Hankel es la base de algunos de los mejores algoritmos para calcular la función gamma.

Integral a lo largo del eje real

La integración de la función gamma inversa a lo largo del eje real positivo da el valor

\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,

el cual es conocido como constante de Fransén–Robinson.

Véase también

  • Función de Bessel–Clifford
  • Distribución gamma inversa

Referencias


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