Función error

Función error
Gráfica de la función error.

En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss) es una función especial (no elemental) que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y las ecuaciones diferenciales parciales. La función queda definida por la expresión:

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt.

La función error complementaria, llamada erfc, se define a partir de la función error:

\mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt.

La función error compleja, llamada w(x), (también conocida como la función Faddeeva) también se define a partir de la función error:

w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix).\,\!

Contenido

Propiedades

La función error es impar:

\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x).

Además, para todo número complejo x se verifica que

\operatorname{erf} (x^{*}) = \operatorname{erf}(x)^{*}

donde x * es el conjugado de x.


No es posible evaluar la integral en forma cerrada utilizando funciones elementales, pero si se expande el integrando mediante una serie de Taylor, se obtiene la serie de Taylor de la función error:

\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

expresión que es válida para todo número real x, y también en todo el plano complejo. Este resultado se basa en la expansión en serie de Taylor de e^{-x^2} que es \sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} y que se integra término a término. Los términos del denominador son la secuencia A007680 en el OEIS.

Para realizar el cálculo iterativo de la serie antedicha, es útil utilizar la siguiente formulación alternativa:

\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}

porque \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} expresa el multiplicador necesario para que el término iésimo se convierta en el término (i+1)ésimo (suponiendo que el número "x" es el primer término).

La función error en el infinito vale exactamente 1 (ver Integral de Gauss).

La derivada de la función error se obtiene directamente a partir de su definición:

\frac{d}{dx}\,\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.

La función error inversa es la serie

\operatorname{erf}^{-1}(x)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!

donde c0 = 1 y

c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.

Por lo que se tiene la expansión en serie (notar que se han cancelado los factores comunes en los numeradores y denominadores):

\operatorname{erf}^{-1}(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi}{12}x^3+\frac{7\pi^2}{480}x^5+\frac{127\pi^3}{40320}x^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}x^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}x^{11}+\cdots\right ). \,\![1]

(Luego de cancelar las fracciones en el numerador y denominador corresponde a las entradas A092676/A132467 en la OEIS; si no se realiza la cancelación los términos del numerador corresponden a la entrada A002067.)

Gráfica de la función error complementaria.

Notar que el valor de la función error en más/menos infinito es igual a más/menos 1.

Usos

Si los resultados de una serie de mediciones son descritos por una distribución normal con una desviación estándar σ y esperanza matemática 0, entonces \operatorname{erf}\,\left(\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\,\right) es la probabilidad de que el error de una medición individual se encuentre comprendido en el intervalo −a y +a.

Las funciones error y complementaria del error, también se utilizan al buscar soluciones a problemas de resolución de la ecuación de calor con condiciones de borde expresadas por la función escalón de Heaviside.

En sistemas de comunicación digital ópticos, la "Relación de error de bit" -BER- queda expresado por la siguiente función:

\mathrm{BER} = 0,5\,\operatorname{erfc}\left( \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sqrt{2}\left(\sigma_1 + \sigma_2\right)} \right).

Expansión asintótica

Una expansión asintótica útil de la función error complementaria (y por lo tanto también de la función error) para valores grandes de x es

\mathrm{erfc}(x) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,

Esta serie diverge para todo valor de x finito. Sin embargo, en la práctica solo son necesarios los primeros términos de esta expansión para obtener una buena aproximación al valor de erfc(x), donde la serie de Taylor expresada previamente converge muy lentamente.

Otra aproximación es:

\operatorname{erf}^2(x)\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)

donde

a = -\frac{8(\pi-3)}{3\pi(\pi-4)}.

Funciones relacionadas

La función error es esencialmente idéntica a la función distribución de probabilidad normal estandard, designada como Φ, ya que su única diferencia es su escala y una traslación. En efecto,

\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]=\frac{1}{2}\,\mbox{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right).

A la inversa de \Phi\, se la conoce como la función quantil normal, o función probit y se la puede expresar utilizando la función error inversa:

\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p).

La cdf normal estandard es utilizada más a menudo en probabilidad y estadística, mientras que la función error es utilizada con mayor frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

La función error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler, y puede ser expresada como una función hipergeométrica confluyente (función de Kummer):

\mathrm{erf}(x)= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).

Posee una expresión relativamente simple mediante la integral de Fresnel. En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta,

\operatorname{erf}(x)=\operatorname{sgn}(x) P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sgn}(x) \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right). \operatorname{sgn}(x) \ es la función signo.

Funciones error generalizadas

Gráfica de las funciones error generalizadas En(x):
curva gris: E1(x) = (1 − e −x)/\sqrt{\pi}
curva roja: E2(x) = erf(x)
curva verde: E3(x)
curva azul: E4(x)
curva amarilla: E5(x).

Algunos autores han analizado funciones más generales del tipo

E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,dt =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.

Algunos casos destacables son:

  • E0(x) es una línea recta que pasa por el origen: E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}
  • E2(x) es la función error, erf(x).

Si se divide por n!, todas las En para n impares son similares entre sí (aunque no identicas). En forma similar, las En para n pares luego de dividirlas por n! son similares entre sí (aunque no idénticas). Todas las funciones error generalizadas para n>0 son similares para x positivas.

Estas funciones generalizadas para x>0 pueden ser expresadas en forma equivalente mediante la función Gamma:

E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x>0

Por lo tanto, se puede definir a la función error mediante la función gamma mediante la siguiente expresión:

\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}

Integrales iteradas de la función error complementaria

Las integrales iteradas de la función error complementaria son definidas como

\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) = \int_z^\infty \mathrm i^{n-1} \operatorname{erfc}\, (\zeta)\;\mathrm d \zeta.\,

Ellas poseen las series de potencias

\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) = \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j! \Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,

de las que se deducen las siguientes simetrías

\mathrm i^{2m} \operatorname{erfc} (-z) = - \mathrm i^{2m} \operatorname{erfc}\, (z) + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)! (m-q)!}

y

\mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc} (-z) = \mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc}\, (z) + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.

Véase también

Referencias

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Capítulo 7)

Enlaces externos


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