Fracción continua de Gauss

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En análisis complejo la fracción continua de Gauss es un caso particular de fracción continua generalizada derivada de la serie hipergeométrica. Fue una de las primeras fracciones continuas analíticas conocidas en matemáticas y puede usarse para representar varias funciones elementales importantes, así cómo algunas de las más complicadas funciones trascendentes.

Historia

En 1768 Lambert publicó varios ejemplos de fracciones continuas de este tipo y ambos, Euler y Lagrange investigaron construcciones similares,^[1] sin embargo fue Gauus quien utilizó el ingenioso desarrollo descrito en la siguiente sección para deducir la forma general de esta fracción continua, en 1813.^[2]

Aunque Gauss le dio la forma de esta fracción continua, no ofreció una prueba de sus propiedades de convergencia. Bernhard Riemann^[3] y Thomé^[4] obtuvieron resultados parciales, pero la demostración final en la región en la que esta fracción continua converge no se obtuvo hasta 1901, por Edward Burr Van Vleck.^[5]

Derivación

Sea $f_0, f_1, f_2, \dots$ una secuencia de funciones analíticas tales que

f i - 1 - f i = k i z f i + 1

para todo $i > 0$ , donde cada $k i$ es constante.

Entonces

$\frac{f_{i-1}}{f_i} = 1 + k_i z \frac{f_{i+1}}{{f_i}},\, \frac{f_i}{f_{i-1}} = \frac{1}{1 + k_i z \frac{f_{i+1}}{{f_i}}}$ .

Estableciendo $g i = f i / f i - 1$ ,

$g_i = \frac{1}{1 + k_i z g_{i+1}}$ ,

Así

$g_1 = \frac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1 + k_1 z g_2} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + k_2 z g_3}} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + \cfrac{k_2 z}{1 + k_3 z g_4}}} = \dots\$ .

Repitiendo el razonamiento sucesivamente se obtiene la expresión de la fracción continua

$\frac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{k_1 z}{1 + \cfrac{k_2 z}{1 + \cfrac{k_3 z}{1 + {}_\ddots}}}}$

En la fracción continua de Gauss, las funciones $f i$ son funciones hipergeométricas de la forma $0 F 1$ , $1 F 1$ , y $2 F 1$ , y las ecuaciones $f i - 1 - f i = k i z f i + 1$ surgen como identidades entre funciones donde los parámetros difieren en cantidades enteras. Estas identidades pueden probarse de varias formas, por ejemplo, expandiendo la serie y comparando coeficientes, o haciendo las derivadas de varias formas y eliminándolas de las ecuaciones generadas.

La serie ₀F₁

El caso más simple involucra

$\,_0F_1(;a;z) = 1 + \frac{1}{a\,1!}z + \frac{1}{a(a+1)\,2!}z^2 + \frac{1}{a(a+1)(a+2)\,3!}z^3 + \cdots\$ .

Comenzando con la identidad

$\,_0F_1(;a-1;z)-\,_0F_1(;a;z) = \frac{z}{a(a-1)}\,_0F_1(;a+1;z)$ ,

podemos tomar

$f_i = {}_0F_1(;a+i;z),\,k_i = \tfrac{1}{(a+i)(a+i-1)}$ ,

dando

$\frac{\,_0F_1(a+1;z)}{\,_0F_1(a;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{1}{a(a+1)}z} {1 + \cfrac{\frac{1}{(a+1)(a+2)}z}{1 + \cfrac{\frac{1}{(a+2)(a+3)}z}{1 + {}_\ddots}}}}$

$\frac{\,_0F_1(a+1;z)}{a\,_0F_1(a;z)} = \cfrac{1}{a + \cfrac{z} {(a+1) + \cfrac{z}{(a+2) + \cfrac{z}{(a+3) + {}_\ddots}}}}$ .

Esta expansión converge a la función meromórfica definida por el cociente entre las dos series convergentes (siempre que, por supuesto, esa a no sea cero, ni un entero negativo).

La serie ₁F₁

El caso siguiente supone

${}_1F_1(a;b;z) = 1 + \frac{a}{b\,1!}z + \frac{a(a+1)}{b(b+1)\,2!}z^2 + \frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}z^3 + \dots$

para lo cual las dos identidades

$\,_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a+1;b;z) = \frac{(a-b+1)z}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z)$

$\,_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a;b;z) = \frac{az}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z)$

se usan alternativamente.

Sea

$f_0(z) = \,_1F_1(a;b;z)$ ,

$f_1(z) = \,_1F_1(a+1;b+1;z)$ ,

$f_2(z) = \,_1F_1(a+1;b+2;z)$ ,

$f_3(z) = \,_1F_1(a+2;b+3;z)$ ,

$f_4(z) = \,_1F_1(a+2;b+4;z)$ ,

etc.

Esto da $f i - 1 - f i = k i z f i + 1$ donde $k_1=\tfrac{a-b}{b(b+1)}, k_2=\tfrac{a+1}{(b+1)(b+2)}, k_3=\tfrac{a-b-1}{(b+2)(b+3)}, k_4=\tfrac{a+2}{(b+3)(b+4)}$ , produciendo

$\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{a-b}{b(b+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+1}{(b+1)(b+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+2}{(b+3)(b+4)} z}{1 + {}_\ddots}}}}}$

$\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{b{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{b + \cfrac{(a-b) z}{(b+1) + \cfrac{(a+1) z}{(b+2) + \cfrac{(a-b-1) z}{(b+3) + \cfrac{(a+2) z}{(b+4) + {}_\ddots}}}}}$

De forma similar

$\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{a}{b(b+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-1}{(b+1)(b+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{a+1}{(b+2)(b+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{a-b-2}{(b+3)(b+4)} z}{1 + {}_\ddots}}}}}$

$\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{b{}_1F_1(a;b;z)} = \cfrac{1}{b + \cfrac{a z}{(b+1) + \cfrac{(a-b-1) z}{(b+2) + \cfrac{(a+1) z}{(b+3) + \cfrac{(a-b-2) z}{(b+4) + {}_\ddots}}}}}$

Desde $1 F 1 (0; b; z) = 1$ , pongamos a a 0 y reemplacemos b + 1 con b en la primera fracción continua se obtiene un caso especial simplificado:

${}_1F_1(1;b;z) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-z}{b + \cfrac{z}{(b+1) + \cfrac{-b z}{(b+2) + \cfrac{2z}{(b+3) + {}_\ddots}}}}}$

La serie ₂F₁

El caso final supone

${}_2F_1(a,b;c;z) = 1 + \frac{ab}{c\,1!}z + \frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}z^2 + \frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}z^3 + \dots\,$ .

De nuevo, se usan dos identidades alternativamente.

$\,_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a+1,b;c;z) = \frac{(a-c+1)bz}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)$ ,

$\,_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a,b+1;c;z) = \frac{(b-c+1)az}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)$ .

Estas son, esencialmente, la misma identidad con a y b intercambiadas.

Sea

$f_0(z) = \,_2F_1(a,b;c;z)$ ,

$f_1(z) = \,_2F_1(a+1,b;c+1;z)$ ,

$f_2(z) = \,_2F_1(a+1,b+1;c+2;z)$ ,

$f_3(z) = \,_2F_1(a+2,b+1;c+3;z)$ ,

$f_4(z) = \,_2F_1(a+2,b+2;c+4;z)$ ,

etc.

Esto proporciona $f i - 1 - f i = k i z f i + 1$ donde $k_1=\tfrac{(a-c)b}{c(c+1)}, k_2=\tfrac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}, k_3=\tfrac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}, k_4=\tfrac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}$ , produciendo

$\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}_\ddots}}}}}$

$\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{c{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{c + \cfrac{(a-c)b z}{(c+1) + \cfrac{(b-c-1)(a+1) z}{(c+2) + \cfrac{(a-c-1)(b+1) z}{(c+3) + \cfrac{(b-c-2)(a+2) z}{(c+4) + {}_\ddots}}}}}$

Desde $2 F 1 (0, b; c; z) = 1$ , damos a a el valor 0 y reemplazamos c + 1 con c obteniéndose un caso especial simplificado de la fracción continua:

${}_2F_1(1,b;c;z) = \cfrac{1}{1 + \cfrac{-b z}{c + \cfrac{(b-c) z}{(c+1) + \cfrac{-c(b+1) z}{(c+2) + \cfrac{2(b-c-1) z}{(c+3) + {}_\ddots}}}}}$

Propiedades de convergencia

En esta sección, los casos donde uno o más de los parámetros es un entero negativo se excluye, en virtud de que en estos casos o bien la serie hipergeométrica no está definida o bien son polinomios por lo que la fracción continua se acaba. Se excluyen también otras excepciones triviales.

En los casos $0 F 1$ y $1 F 1$ , la serie converge por doquier así que la fracción de la izquierda es una función meromórfica. Las fracciones continuas de la derecha convergerán uniformemente en cualquier conjunto cerrado que no contenga polos de esta función.^[6]

En el caso $2 F 1$ , el radio de convergencia de la serie es 1 y la fracción de la izquierda es una función meromórfica en este círculo. Las fracciones continuas de la derecha convergerán a la función por doquier dentro de este círculo.

Fuera del círculo, la fracción continua representa la extensión analítica de la función a el plano complejo con el eje real positivo, desde Plantilla:Math a el punto eliminado en infinito . En la mayoría de los casos Plantilla:Math es una rama puntual y la línea desde Plantilla:Math a más infinitoes una rama cortada para esta función. La fracción continua converge a una función meromórfica en este dominio y converge uniformemente en cualquier subconjunto finito cerrado de este dominio que no contenga polos.^[7]