Transformación afín

Transformación afín
Una imagen de un helecho que exhibe autosimilaridad afín.

En geometría, una transformación afín o aplicación afín (también llamada afinidad) entre dos espacios vectoriales (estrictamente hablando, dos espacios afines) consiste en una transformación lineal seguida de una traslación:

\mathbf{x} \mapsto \mathbf{A}\mathbf{x}+ \mathbf{b}

En el caso de dimensión finita, toda transformación afín puede representarse por una matriz \scriptstyle \mathbf{A} y un vector \scriptstyle \mathbf{b} que satisfacen ciertas propiedades que se especifican a continuación.

Geométricamente, una transformación afín en un espacio euclídeo es una transformación que preserva:

  1. Las relaciones de colinealidad (y coplanaridad) entre puntos, es decir, puntos que recaían sobre una misma línea (o sobre un mismo plano) antes de la transformación continuan estan alineados tras una transformación afín.
  2. Las razones entre distancias a lo largo de una línea, es decir, para tres puntos alineados distintos \scriptstyle P_1, P_2, P_3, las razones \scriptstyle |\overline{P_2P_1}| / |\overline{P_3P_2}| antes y después de la transformación son iguales.

En general, una transformación afín está compuesta de transformaciones lineales (rotaciones, homotecias y sesgos) compuestas con una traslación o desplazamiento. En el caso 1-dimensional A y b se llaman, respectivamente, la pendiente y el término independiente.

Representación

El álgebra vectorial ordinaria usa la multiplicación por matrices para representar transformaciones lineales y la suma de vectores para representar traslaciones. Mediante "matrices ampliadas", resulta posible representar ambos tipos de transformaciones exclusivamente mediante multiplicación por matrices. La técnica para "ampliar los vectores" consiste en añadir un vector con una componente extra de valor unitario al resto de las componentes y a todas las matrices se le añade una columna al final con el vector que da la traslación y una fila al final con componentes cero y un 1 en la última posición, es decir:

\begin{bmatrix} x'_1\\ \dots\\ x'_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ \dots \\ b_n \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} x'_1\\ \dots\\ x'_n \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} & b_n \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \dots \\ x_n \\ 1 \end{bmatrix}

O en forma más compacta:

\vec{y} = \mathbf{A} \vec{x} + \vec{b} \mapsto \begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}

Esta representación permite ver rápidamente que el conjunto de todas las transformaciones afines invertibles es el producto semidirecto \scriptstyle \mathbb{K}\oplus \text{GL}(n,\mathbb{K}), el grupo anterior bajo las operación de composición de transformaciones es un grupo llamado, grupo afín de orden n. Como puede verse este grupo es un subgrupo de \scriptstyle \text{GL}(n+1,\mathbb{K})


Propiedades

Una transformación es invertibles si y sólo si \scriptstyle \mathbf{A} es invertible. En la representación matricial descrita anteriormente, la inversa tiene la forma:

\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\vec{b} \ \\ 0,\ldots,0 & 1 \end{bmatrix}

Las tranformaciones afines invertibles (de un espacio afín en sí mismo) forman el llamado grupo afín que como se ha mencionado tiene al grupo lineal de orden n como subgrupo. El propio grupo afín de orden n es a su vez subgrupo del grupo lineal de orden n+1.


Wikimedia foundation. 2010.

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