Complejo de cadenas

Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto \{ A_i,\, \delta_i\} consistente en estructuras algebraicas Ai (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y δi morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas (del inglés chain complex) si la construcción

\ldots \to A_{n+1} \begin{matrix} \delta_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} \delta_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-1} \to \ldots

satisface \delta_{n+1}\circ\delta_n=0 \,. Esta última condición implica im\delta_{n+1}\subseteq ker\delta_n \, para toda n. Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Contenido

Notación

El símbolo A_{\bullet} se utiliza para designar al par \{ A_i,\, \delta_i\}.

La homología

A las estructuras cociente

H_n(A_{\bullet})=\frac{ker\delta_n}{{\rm im}\delta_{n+1}}\,

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas A_{\bullet}

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas

cadeno-morfismo f_{\bullet}=\{f_i\}.

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos A_{\bullet}=\{ A_q,\, \delta_q\} y B_{\bullet}=\{ B_q,\, \gamma_q\} es un conjunto f_{\bullet}=\{f_q\} de morfismos entre las estructuras algebraicas A_q\stackrel{f_q}\to B_q tales que f_q\circ \delta_{q+1}=\gamma_{q+1}\circ f_{q+1}. Simbólicamente f_{\bullet}\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet} indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos A_q\stackrel{g_q}\to B_{q-d} con la misma propiedad g_q\circ \delta_{q+1}=\gamma_{q+1}\circ g_{q+1}

Como categoría

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico (X,A) una familia de grupos abelianos {Hn(X,A)} que formarán una complejo de cadenas \cdots\to H_i(A)\to H_i(X)\to H_i(X,A)\to H_{i-1}(A)\to\cdots y donde un mapeo continuo f\colon(X,B)\to(Y,B) entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos f_{\#}\colon H_i(A)\to H_i(B), f_{\#}\colon H_i(X)\to H_i(Y) y f_{\#}\colon H_i(X,A)\to H_i(Y,B) con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.

Referencia

Bibliografía

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

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