Conjunto contorno

En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:

Todo lo superior a algo
Todo lo superior o equivalente a algo
Todo lo inferior a algo
Todo lo inferior o equivalente a algo

Contenido

1 Definiciones
- 1.1 Conjunto contorno de una función
2 Ejemplos
- 2.1 Aritmética
- 2.2 Economía
3 Complementariedad
4 Véase también
5 Referencias

Definiciones

Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto $X$ : $\succcurlyeq~\subseteq~X^2$ y un elemento $x$ de $X$ :

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$ :

$\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}$

El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos:

$\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}$

El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$ , sin contar el mismo $x$ :

$\left\{ y~/~(y\succcurlyeq x)\land\lnot(x\succcurlyeq y)\right\}$

El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo $x$ :

$\left\{ y~/~(x\succcurlyeq y)\land\lnot(y\succcurlyeq x)\right\}$

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

$\succ~=~\left\{ \left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land\lnot(b\succcurlyeq a)\right\}$

donde $a$ está relacionado con $b$ pero $b$ no está relacionado con $a$ , en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de $x$ es

$\left\{ y~/~y\succ x\right\}$

y el conjunto contorno inferior estricto de $x$ es

$\left\{ y~/~x\succ y\right\}$

Conjunto contorno de una función

En el caso de una función f considerada en términos de la relación $\triangleright$ , la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\triangleright f(b)]$

Ejemplos

Aritmética

Dados un número real $x$ y la relación $\ge$ , entonces:

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de números que son mayores o iguales a $x$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de números mayores que $x$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de números menores o iguales a $x$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de números menores que $x$ .

Considerando la relación más general

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\ge f(b)]$

Entonces

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)\ge f(x)$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f (y) > f (x)$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)\ge f(y)$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f (x) > f (y)$ .

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\le f(b)]$

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\ge f(b)]$

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

$[(a_1 ,a_2 ,\ldots)\succcurlyeq(b_1 ,b_2 ,\ldots)]~\Leftarrow~[f(a_1 ,a_2 ,\ldots)\ge f(b_1 ,b_2 ,\ldots)]$

Economía

En economía, el conjunto $X$ puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación $\succ$ como preferencias estrictas, y la relación $\succcurlyeq$ como preferencias débiles. Así,

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como $x$ ,
El conjunto contorno supeior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que $x$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que $x$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que $x$ .

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)\ge u(x)$ ,
El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u (y) > u (x)$ ,
El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)\ge u(y)$ , y
El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u (x) > u (y)$ .

Complementariedad

Si $\succcurlyeq$ es un ordenación total de $X$ , entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

$X^2\backslash\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{ y~/~x\succ y\right\}$

$X^2\backslash\left\{ y~/~x\succ y\right\}=\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}$

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

$X^2\backslash\left\{ y~/~y\succ x\right\}=\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}$

$X^2\backslash\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{ y~/~y\succ x\right\}$

Véase también

Referencias

Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, y Jerry R. Green; Microeconomic Theory (LCC HB172.M6247 1995), p43. ISBN 0-19-507340-1 (cloth) ISBN 0-19-510268-1 (paper)

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