Acotado

Acotado

El concepto de acotado aparece en matemáticas para referirse a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.

Contenido

Conjunto acotado en un espacio métrico

Sean M un espacio métrico y A un subconjunto de M. Se dice que A esta acotado si existe algún disco abierto que lo contenga.

Conjunto acotado en el conjunto de los números reales

Sean A un subconjunto de números reales y M un número real positivo. Se dice que A es acotado si existe un M tal que para todo x ∈ A se verifica que |x|es menor o igual que M.

A\ \mbox{es acotado} \iff \exists M \in \R^+ /\ \forall x \in A, \left | x \right | \le M

Conjunto acotado superiormente

Un conjunto \scriptstyle A completamente ordenado está acotado superiormente si existe un elemento \scriptstyle y que sea mayor que cualquier elemento del conjunto, es decir:

(*) A \mbox{acotado superiormente} \iff \exists y: \forall x\in A:\ (x \le y)

Nótese que con esta definición puede ser que \scriptstyle y\notin A o que \scriptstyle y\in A. A cualquier número \scriptstyle y satisfaga (*) se le llama cota superior.

Si un conjunto está acotado superiormente en general existirá más de una cota superior, denotando al conjunto de cotas superiores de \scriptstyle A como \scriptstyle CS_A se define el supremo de \scriptstyle A como:

sup A = min CSA

Si \scriptstyle A \subset \R está acotado entonces tiene un supremo. Si resulta que \scriptstyle \sup A \in A entonces el supremo resulta además ser un máximo del conjunto \scriptstyle A.

Conjunto acotado inferiormente

sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe K que pertenece a los reales tal que k < x o k = x para todo x que pertenece a A. El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito.

Ejemplos

  • El conjunto de números enteros positivos consta de un ínfimo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Inferiormente.
  • El conjunto de los números enteros negativos consta de un supremo, el 0, por lo que es un Conjunto Acotado Superiormente.
  • Un conjunto que conste de los números {-3, 0, 1, 5, 32, 120} consta de una mayorante (el 120), una minorante (el -3) y un subconjunto que consta de los cuatro elementos restantes, por lo que es un Conjunto Acotado.

Función acotada en un dominio D

Una Función matemática f se llama función acotada en un dominio D (conjunto abierto conexo no vacío) cuando el conjunto imagen o recorrido de la función es un conjunto acotado, es decir, cuando el conjunto f(D) es un conjunto acotado. Por ejemplo, las funciones trigonométricas sin x y cos x, para las cuales f(D) =[-1,+1]\,.

Función acotada superiormente en un dominio D

Dada una función f(X), se dice que tiene una cota superior o que está acotada superiormente si existe un valor K tal que f(X) \le K para cualquier valor de X perteneciente al dominio D. K se dice cota superior de f(X) en D.

Dicho formalmente: f(X) es acotada superiormente si \exists K \in \R\ /\ f(X) \le K\ \forall\ X \in D .

Función acotada inferiormente en un dominio D

Dada una función f(X), se dice que tiene una cota inferior o que está acotada inferiormente si existe un valor K tal que f(X) \ge K para cualquier valor de X perteneciente al dominio D. K se dice cota inferior de f(X) en D.

Donde X es una variable vectorial, por lo que el dominio D puede ser n-dimensional.

Ejemplos

  • La función y = f(x) = x^2\, (parábola) es una función acotada inferiormente en el eje real con cota igual a 0.
  • La función y = f(x) = -x^2\, (parábola invertida) es una función acotada superiormente en el eje real con cota igual a 0.
  • La función y= f(x) = \sin(x)\, (función seno) es una función acotada en el eje real, con cota inferior igual a -1 y cota superior igual a 1.
  • La función z = f(x,y) = x^2+y^2\, en el dominio D = {-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1} tiene una cota superior igual a 2 y una cota inferior igual a 0.

Operador acotado

En un espacio de Hilbert (o un espacio de Banach) un operador acotado es aquel que tiene una norma máxima definida sobre la bola unidad. Por tanto para un operador acotado se cumple que:

\exists K \in \mathbb{R}: \max_{\|v\| = 1} \|B(v)\| \le K

Algunos operadores importantes de la mecánica cuántica como el hamiltoniano suelen ser no acotados, lo cual tiene cierta significación física ya que en general la mayoría de sistemas físicos no tienen un límite superior de la energía que pueden contener.

Segmento acotado

En un croquis, aquél que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.

Croquis acotado

Representación de un objeto en un plano horizontal o vertical con indicación de las dimensiones del objeto.


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Sinónimos:
, , ,


Antónimos:
abierto, libre


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