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Extensión simple
En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos L:K de manera que L está generado por un solo elemento.
Contenido
Construcción
Sean L y K dos cuerpos de manera que L es extensión de K. Se define la extensión generada por α sobre K como el conjunto
.
- Todo elemento de K[x] está también en L[x], y como
, si
entonces
. Si
entonces es
, y si
, existe
. Así pues,
y es
.
- Definimos las operaciones suma y producto en K(α) como las restricciones a K(α) de las operaciones del cuerpo de cocientes de L, i.e., si
, definimos
y
. Por ser K[x] un anillo y L un cuerpo, es sencillo demostrar que la suma y el producto así definidos en K(α) son operaciones internas en K(α).
- Como L es cuerpo, en particular es dominio de integridad, y por la Propiedad Universal del Cuerpo de Cocientes de un Dominio Íntegro, el cuerpo de cocientes de L es Q(L) = L (el menor cuerpo que contiene a L es el propio L). Así se demuestra que K(α), con las operaciones así definidas, es subcuerpo de L.
- Para comprobar que
, basta con tomar el cociente
para cada
(donde identificamos
con el polinomio constante
). Además, como las operaciones en L son las extensiones de las operaciones en K, es inmediato que K es subcuerpo de K(α).
- Tomando el polinomio
, entonces es
, luego
.
Todo esto demuestra que K(α) es una extensión de K y subcuerpo de L.
- Sea ahora una extensión E de K de forma que
. Como
y
, si
, entonces
, y como
, entonces
. Por último, como E es cuerpo, si
, entonces existe
y
, luego
.
Queda entonces demostrado que K(α) es la menor extensión de K que contiene a α.
A este proceso se le denomina a veces adjunción de un elemento α a un cuerpo K.
Definición de extensión simple
Sea L:K una extensión. Se dice que L es extensión simple sobre K si existe un
de manera que L = K(α).
Observaciones
Una extensión simple K(α):K puede ser algebraica o trascendente, dependiendo de si α es un elemento algebraico o trascendente sobre K.
Si α es trascendente, entonces el grado [K(α):K] de la extensión es infinito.
Si α es algebraico, entonces el grado [K(α):K] de la extensión es finito. En concreto,
, siendo
el polinomio mónico irreducible de α sobre K. Se deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.
Teorema del elemento primitivo
Toda extensión finita y separable es simple.
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