Integral y función primitiva

Integral y función primitiva

Integral y función primitiva


Integral definida es un proceso de cálculo de áreas encerradas entre una curva y un eje cartesiano.

Función Primitiva es la relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

\mbox{F}(b) - \mbox{F}(a) = \int_a^b{\mbox{f}(x)dx} \,\!

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Primitiva.png

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.

Integral alterna.png

La relación de Chasles:

\int_a^c{\mbox{f}(x)dx} = \int_a^b{\mbox{f}(x)dx} + \int_b^c{\mbox{f}(x)dx} \,\!

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b < c )como analíticos, tiene como consecuencia:

\int_a^b{\mbox{f}(x)dx} = -\int_b^a{\mbox{f}(x)dx} \,\! y \int_a^a{\mbox{f}(x)dx} = 0 \,\!

La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas.

La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace.

Véase también

Fuente

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

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