Monoide

El monoide es una estructura algebraica en el conjunto $A \,$ , con la operación binaria interna: $\circ$ , expresado: $(A,\circ)$ , donde se cumplen las siguientes tres propiedades:

Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo $\circ$ , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

$\forall x, y \in A : \quad x \circ y \in A$ .
Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

$\forall x, y, z \in A: \quad x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \;$
Con Elemento neutro para todo elemento x que pertenezca al conjunto A, existe un único elemento e de A, que cumple:

$\forall x \in A : \quad \exists ! \, e : \quad e \circ x = x \circ e = x$

En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circ$ si:

$\forall a, b \in A: \quad a \circ b = b \circ a \;$

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Contenido

1 Ejemplos
- 1.1 Concatenación de cadenas alfanuméricas
- 1.2 Multiplicación de números naturales
2 En la teoría de categorías
3 Véase también
4 Bibliografía
5 Enlaces externos

Ejemplos

Concatenación de cadenas alfanuméricas

Definimos el conjunto A de las cadenas alfanuméricas, cada una de las cuales es una secuencia de letras y números de cualquier longitud, que representaremos:

$\langle abcd \rangle$

$\langle aju73fr5 \rangle$

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

$\langle \rangle$

Definimos la operación $\shortparallel$ de concatenación de cadenas de caracteres:

$A \shortparallel A \to A$

que podemos representar, de las siguientes formas:

$\langle asd \rangle \shortparallel \langle rfv \rangle \; \to \; \langle asdrfv \rangle$

$\langle 1234 \rangle \shortparallel \langle ju \rangle \; \to \; \langle 1234ju \rangle$

podemos ver que $( A , \shortparallel )$ tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas su concatenación es una cadena alfanumérica:

$\forall a, b \in A : \quad a \shortparallel b \in A$ .

2.- Es asociativa:

$\forall a, b, c \in A: \quad a \shortparallel (b \shortparallel c) = (a \shortparallel b) \shortparallel c \;$

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres, existe la cadena vacía $\langle \rangle$ de A, de modo:

$\forall a \in A : \quad \exists \, \langle \rangle : \quad \langle \rangle \shortparallel a = a \shortparallel \langle \rangle = a$

La concatenacion de cadenas de caracteres no es conmutativa:

$\forall a, b \in A: \quad a \shortparallel b \ne b \shortparallel a \;$

Por lo que $( A , \shortparallel )$ tiene estructura algebraica de monoide, no conmutativo.

Multiplicación de números naturales

Partiendo del conjunto de los números naturales:

$N = \{ 1, 2, 3, 4, \dots \} \,$

y la operación multiplicación, podemos ver que: $(N , \times )$ es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

$\forall a, b \in N : \quad a \times b \in N$ .

2.- Es asociativa:

$\forall a, b, c \in N: \quad a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \;$

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a número natural, existe el 1 en N, que cumple:

$\forall a \in N : \quad \exists \, 1 : \quad 1 \times a = a \times 1 = a$

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

$\forall a, b \in A: \quad a \times b = b \times a \;$

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: $(N , \times )$ , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías

Una categoría monoidal, es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
La categoría $\mathbf{Vect}_{\mathbb{K}}$ de los espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb{K}$ junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a $\mathbb{K}$ como el elemento neutro.

Véase también

Monoide

Bibliografía

Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (en español). Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A.. ISBN 978-84-368-0174-3.

Enlaces externos

Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide

CIENCIA.NET: Monoide

Categorías:

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

Monoide — Monoïde En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d une loi de composition interne associative et d un élément neutre. Un monoïde est donc un magma associatif, c.à.d. un demigroupe, et unifère.… … Wikipédia en Français
monoïde — ● monoïde nom masculin Synonyme de demi groupe. ● monoïde (synonymes) nom masculin Synonymes : demi groupe monoïde [mɔnɔid] n. m. ÉTYM. 1906, Larousse, surface monoïde; de mono , et oïde. ❖ … Encyclopédie Universelle
Monoïde — En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d une loi de composition interne associative et d un élément neutre. Par définitions il s agit donc d un magma associatif et unifère, soit un demigroupe… … Wikipédia en Français
Monoide — Un monoide es un magma (i.e. un par (M,*), donde M es un conjunto, y * una operación binaria) que cumple: ● Es cerrada en M, esto es, el resultado de a*b pertenece a M para cualesquiera a y b de M. ● Existe una identidad, esto es, un elemento e… … Enciclopedia Universal
Monoïde de traces — En mathématiques et en informatique, une trace est un ensemble de mots, où certaines lettres peuvent commuter, et d autres non. Le monoïde des traces ou monoïde partiellement commutatif libre est le monoïde quotient du monoïde libre par une… … Wikipédia en Français
Monoïde syntaxique — Étant donné un langage formel sur l alphabet A, son monoïde syntaxique est le quotient des mots A * par la relation d équivalence . En d autres termes, quels que soient les mots x et y construits sur l alphabet A, la concaténation de x, u et y… … Wikipédia en Français
monoide — mo|noi|de Mot Pla Nom masculí … Diccionari Català-Català
Algèbre d'un monoïde — Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie). En algèbre, plus précisément en théorie des anneaux, l algèbre d un monoïde M sur un anneau commutatif A est la A algèbre formée des combinaisons linéaires d éléments de M, à coefficients… … Wikipédia en Français
Catégorie des monoïdes — Monoïde En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique consistant en un ensemble muni d une loi de composition interne associative et d un élément neutre. Un monoïde est donc un magma associatif, c.à.d. un demigroupe, et unifère.… … Wikipédia en Français
Polynôme en plusieurs indéterminées — En algèbre, un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans un anneau A commutatif unitaire (et souvent intègre) est un élément d une structure d algèbre, qui est une extension de l algèbre des polynômes en une indéterminée. Il existe… … Wikipédia en Français

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Monoide

Contenido