Nabla

Nabla
∇
El símbolo nabla.
El arpa, el instrumento que da nombre al símbolo nabla.

En geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial representado por el símbolo: ∇ | \nabla(nabla).

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

\nabla = \hat{x}{\partial \over \partial x} + \hat{y}{\partial \over \partial y} + \hat{z}{\partial \over \partial z}.

siendo \hat x, \hat y y \hat z los vectores unitarios en las direcciones de los ejes coordenados. Esta base también se representa por \vec \imath, \vec \jmath, \vec k.

Contenido

Simbología

El nombre proviene de la palabra griega equivalente a la palabra hebrea arpa, que tenía una forma similar. Palabras relacionadas existen en el lenguaje arameo y hebreo. El símbolo fue utilizado por primera vez por William Rowan Hamilton de forma lateral: ⊲. Otro nombre menos conocido del símbolo es atled (delta deletreado al revés), porque la nabla es una letra griega delta (Δ) invertida. En el griego actual, al símbolo se le llama ανάδελτα, anádelta, que significa "delta invertida".

En HTML se escribe ∇ y en LaTeX como \nabla. En Unicode, es el carácter U+2207, o 8711 en notación decimal.

Expresión en otros sistemas de coordenadas

Cuando se emplean sistemas de coordenadas diferentes de las coordenadas cartesianas, la expresión de nabla debe generalizarse. En sistemas de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, en la expresión aparecen los factores de escala:

\nabla = \frac{\hat{q}_1}{h_1}{\partial \over \partial q_1} + \frac{\hat{q}_2}{h_2}{\partial \over \partial q_2}+ \frac{\hat{q}_3}{h_3}{\partial \over \partial q_3}

En particular, para coordenadas cilíndricas (h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho) resulta

\nabla = \hat{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho} +\frac{\hat{\varphi}}{\rho}\frac{\partial }{\partial \varphi}+ \hat{z}\frac{\partial }{\partial z}

y para coordenadas esféricas (h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta)

\nabla = \hat{r}\frac{\partial }{\partial r} +\frac{\hat{\theta}}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}+ \frac{\hat{\varphi}}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial }{\partial \varphi}

El símbolo ∇ fue utilizado por primera vez por William Rowan Hamilton.

Operador nabla en variedades diferenciales

Dada una variedad diferenciable dotada de una conexión que dé lugar a una derivada covariante, se define el operador nabla como la aplicación del conjunto de funciones sobre la variedad o 0-formas al conjunto de 1-formas de dicha variedad. Fijado un sistema local de coordenadas, se expresa como:

\nabla f = \sum_{\alpha} f_{;\alpha} dx^\alpha


Aplicaciones del operador nabla

Este operador puede aplicarse a campos escalares (Φ) o a campos vectoriales F, dando:

• Gradiente: \nabla \phi
• Divergencia: \nabla \cdot \vec{F}
• Rotacional: \nabla \times \vec{F}
• Laplaciano: \nabla^2 \phi

Definición intrínseca

Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:

\nabla\star A = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint A \star d\vec S

En la expresión anterior \star representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y A es un campo escalar, vectorial o tensorial. ΔV es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.

Álgebra del operador ∇

Al tratarse de un operador diferencial, el resultado de su aplicación sobre un producto sigue reglas similares a la derivada de un producto. Sin embargo, dependiendo del carácter de los entes sobre los que actúa, el resultado puede tener una expresión más o menos complicada. Las fórmulas más importantes son:

\nabla(\phi\psi) = (\nabla\phi)\psi + \phi(\nabla\psi)
\nabla\cdot(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\cdot \vec A + \phi(\nabla\cdot \vec A)
\nabla\times(\phi\vec A) = (\nabla\phi)\times \vec A + \phi(\nabla\times \vec A)
\nabla(\vec A\cdot \vec B) = \vec B\times(\nabla\times\vec A) + \vec A\times(\nabla\times\vec B) + (\vec B\cdot\nabla)\vec A + (\vec A\cdot\nabla)\vec B
\nabla\cdot(\vec A\times \vec B) = (\nabla\times\vec A)\cdot\vec B - (\nabla\times \vec B)\cdot\vec A
\nabla\times(\vec A\times \vec B) = (\nabla\cdot\vec B)\vec A + (\vec B\cdot\nabla)\vec A-(\nabla\cdot\vec A)\vec B - (\vec A\cdot\nabla)\vec B

Véase también

Bibliografía

Bibliografía avanzada


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