Número transfinito

Número transfinito

En teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a los ordinales infinitos, esto es, mayor que cualquier número natural o finito, para diferenciarlos del infinito actual o absoluto. En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, "transfinito" e "infinito" son sinónimos.[1]

Primeros números transfinitos

Al igual que con los números naturales, puede pensarse en los números transfinitos como cardinales u ordinales:

  • ω (omega): es el menor ordinal transfinito. Sus elementos son los números naturales, tal y como son construidos en teoría de conjuntos, y representa el tipo de orden de estos.
  • ℵ0, alef-0: es el primer número alef, y el primer cardinal transfinito (asumiendo el axioma de elección). Es conjuntísticamente idéntico a ω, pero se utilizan notaciones diferentes para resaltar el aspecto ordinal o cardinal de los conjuntos numerables.
  • ℵ1, alef-1: es el segundo número alef, y el cardinal siguiente a ℵ0 (asumiendo el axioma de elección).
  • c=2ℵ0: es el cardinal del continuo, el número cardinal de los puntos de una recta o de los números reales.

Asumiendo el axioma de elección, todo lo que puede demostrarse con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es:

\aleph_0 < \aleph_1 \le c

La hipótesis del continuo afirma que de hecho c = \aleph_1. Sin embargo, el trabajo de Gödel y Paul Cohen demuestra que la hipótesis es independiente de dichos axiomas: no puede ser refutada o demostrada a partir de ellos.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Aunque algunos autores, como Suppes, 1960 utilizan "transfinito" para distinguir entre "infinito" y "Dedekind-infinito".

Wikimedia foundation. 2010.

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