- Operador adjunto
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En matemáticas, para todo operador lineal sobre un espacio de Hilbert puede definirse su operador adjunto. Éste es una generalización del concepto de matriz adjunta al caso de espacios de dimensión infinita.
Definición
Para definir el operador adjunto a un operador lineal dado, se ha de especificar el dominio de dicho operador y sus imágenes:
Sea A : DA ⊂ H → H un operador lineal sobre un espacio de Hilbert y sea x ∈ H un vector de dicho espacio. Si para cada vector y ∈ DA en el dominio de A se tiene:
para algún z ∈ H en el espacio, entonces se dice que x está en el dominio del operador adjunto de A, A*,[1] y que z es la imagen de x por dicho operador:
Nótese que ha de probarse que, tal y como aparecen en la definición, DA* es un subespacio, y que el operador A* es lineal.
Ejemplo.
Dentro de las funciones de cuadrado integrable L2, puede definirse el operador momento que básicamente toma derivadas:
dentro del subespacio DP ⊂ L2 de funciones derivables cuya derivada esté a su vez en L2. El producto escalar de Pf con otra función g es:
y puede aplicarse entonces integración por partes siempre que g sea derivable:
Por tanto P* está definido en el subespacio DP* ⊂ L2 de funciones derivables, y actúa de forma idéntica a P. Sin embargo, el dominio del operador adjunto es mayor que el dominio del operador original, DP ⊂ DP*, ya que no todas las funciones derivables de L2 tienen derivada en L2 (como por ejemplo, |x|-1/3).
Referencias
- ↑ Es común también la notación A†, "A daga".
- Akhiezer, N.I.; Glazman, I.M. (1993) (en inglés). Theory of Linear Operators in Hilbert Space. Dover Publications. ISBN 0-486-67748-6.
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