Trivial (matemática)

En matemática, el término trivial se usa frecuentemente para los objetos (por ejemplo, cuerpos o espacios topológicos) que tienen una estructura muy simple. Para los no matemáticos, son a veces más difíciles de visualizar o entender que otros objetos más complicados. También se usa el término trivial para referirse a una opción, caso o posibilidad poco interesante o exenta de interés pero que debe mencionarse por un afán de completitud.

Objetos triviales

Algunos ejemplos incluyen:

• conjunto vacío - el conjunto que no contiene elementos
• grupo trivial - el grupo matemático que contiene solo el elemento identidad

Casos y soluciones triviales

También, trivial se refiere a soluciones (a una ecuación) que tienen una estructura muy simple, pero que por completitud no pueden ser ignoradas. Estas soluciones se denominan soluciones triviales. Por ejemplo, considérese la ecuación diferencial

y' = y

donde y = f(x) es una función cuya derivada es y′. Entonces tenemos la solución trivial

y = 0, la función cero

y la solución no trivial

y = e^x, la función exponencial.

De igual forma, uno suele oír el último teorema de Fermat descrito como enunciando que no hay soluciones no triviales a la ecuación aⁿ + bⁿ = cⁿ cuando n es mayor que 2. Claramente hay algunas soluciones a la ecuación. Por ejemplo, a = b = c = 0 es una solución para cualquier n, tal como a = 1, b = 0, c = 1. Pero dichas soluciones son obvias y sin interés, por tanto "triviales".

Trivial en las demostraciones

Además, los matemáticos usan la palabra trivial para referirse a un caso fácil de una demostración, el cual por completitud no puede ser ignorado. Por ejemplo, las demostraciones por inducción matemática suelen tener dos partes: una que muestra que si el teorema es verdadero para un cierto valor de n, es también cierto para el valor n+1, y un así llamado "caso base" que muestra que el teorema es verdadero para un valor particular, generalmente n=0 o n=1. El caso base suele ser trivial y frecuentemente se lo identifica como tal. Similarmente, uno podría querer probar que alguna propiedad es poseída por todos los miembros de un determinado conjunto. La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío, y examinará los elementos detalladamente; en el caso donde el conjunto esté vacío, la propiedad será poseída trivialmente por todos los conjuntos, dado que no hay ninguno. (Véase también verdad vacía.)

Humor matemático

Una broma común en la comunidad matemática es decir que "trivial" es sinónimo de "probado", es decir, cualquier teorema puede ser considerado "trivial" una vez que se conoce como cierto. Otra broma habla de dos matemáticos que están discutiendo un teorema; el primero dice que el teorema es "trivial". En respuesta al pedido del otro de una explicación, procede a veinte minutos de exposición. Al final de su explicación, el segundo matemático se pone de acuerdo en que el teorema es trivial. Estas bromas destacan la subjetividad de los juicios acerca de la trivialidad. Alguien con experiencia en el cálculo infinitesimal, por ejemplo, puede considerar que el teorema es trivial, pero para un estudiante principiante, puede resultar bastante difícil.

Etimología

El término "trivial" (de trivialis, triviale) deriva de la palabra latina trivium que era el conjunto de las tres materias más sencillas (lógica, gramática y retórica) típica de la formación medieval, que eran una preparación para las materias más avanzadas o quadrivium. Así con el tiempo "trivial" se usó para sugerir que algo era "introductorio" o "sencillo".