Función indicatriz

Función indicatriz
Gráfico de una función indicatríz que muestra a un subconjunto de los puntos de un cuadrado \mathbb{R}^2 (en rojo), donde los puntos X\in A tienen coordenada z=1 (color ocre), mientras que los puntos del cuadrado X\notin A tienen coordenada z=0 (rojos).
Para otros usos de este término, véase Función indicatriz (desambiguación).

En matemáticas, la función indicatriz o función característica es una función definida en un conjunto \ X que indica la pertenencia de un elemento en el subconjunto \ A de \ X, teniendo el valor 1 para todos los elementos de \ A y el valor 0 para todos los elementos de \ X no incluidos en \ A.

Definición

La función indicatriz del subconjunto \ A del conjunto \ X es una función

\mathbf{1}_A : X \to \{ 0,1 \} \,

definida como

\mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 &\text{si } x \in A, \\ 0 &\text{si } x \notin A. \end{cases}

El corchete de Iverson permite una notación equivalente, [x \in A], que se puede usar en lugar de \mathbf{1}_A(x).

La función \mathbf{1}_A en ocasiones se expresa \chi_A\! o \mathbf{I}_A\! o incluso A\!. (La letra \chi\! se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego.)

Propiedades básicas

La functión indicatriz o característica de un subconjunto A\! de un conjunto X\!, asocia elementos de X\! al conjunto \{0,1\}\!.

La correspondencia es sobreyectiva solo cuando A es un subconjunto propio de X\!. Si A \equiv X\!, entonces \mathbf{1}_{A} = 1. Por un argumento similar, si A \equiv \varnothing entonces \mathbf{1}_{A} = 0.

En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "\cap " y "\cup" son intersección y unión respectivamente.

Si A\! y B\! son dos subconjuntos de X\!, entonces

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,\,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,

y la función indicatriz del complemento A\! i.e. A^C\! es:

\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A.

Más generalmente, supongamos que A_1, \ldots, A_n es una colección de subconjuntos de X\!. Para todo x \in X,

\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

es claramente un producto de 0s y 1s. Este producto vale 1 precisamente para los x \in X que no pertenecen a ninguno de los conjuntos A_k\! y 0 en caso contrario. Esto es,

\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Expandiendo el producto del lado izquierdo,

\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

donde |F|\! es la cardinalidad de F\!. Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria. La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si X\! es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad \mathbb{P} y A\! es un conjunto medible, entonces \mathbf{1}_A se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de A\!:

\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbb{P} = \int_{A} d\mathbb{P} = \operatorname{P}(A).\quad

Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.

En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.


Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Función indicatriz (desambiguación) — Función indicatriz puede referirse a: Función indicatriz, (también llamada función característica), es una función matemática definida en un conjunto que indica la pertenencia de un elemento en el subconjunto de Función indicatriz de Euler,… …   Wikipedia Español

  • Función matemática — En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados. En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera… …   Wikipedia Español

  • Función definida a trozos — En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función… …   Wikipedia Español

  • Función característica — Para otros usos de este término, véase Función indicatriz. La función característica de una variable aleatoria o de su distribución de probabilidad es una función de variable real que toma valores complejos, que permite la aplicación de métodos… …   Wikipedia Español

  • Función φ de Euler — Los primeros mil valores de . La función φ de Euler (también llamada función indicatriz de Euler) es una función importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se define como el número de enteros positivos… …   Wikipedia Español

  • Anexo:Funciones matemáticas — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar …   Wikipedia Español

  • Serie de Dirichlet — En matemáticas, una serie de Dirichlet es toda serie del tipo donde s y an, n = 1, 2, 3, ... son números complejos. Las series de Dirichlet juegan un número importante de roles en la teoría analítica de números. La definición más popularizada de… …   Wikipedia Español

  • Disquisitiones arithmeticae — Saltar a navegación, búsqueda Página del título en la primera edición Disquisitiones Arithmeticae es un libro de teoría de números escrito por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando tenía 21 a …   Wikipedia Español

  • Lógica matemática — La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la… …   Wikipedia Español

  • Proyección de Mercator — Saltar a navegación, búsqueda Mapa de Mercator de 1569 …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”