Función indicatriz

Función indicatriz
Gráfico de una función indicatríz que muestra a un subconjunto de los puntos de un cuadrado \mathbb{R}^2 (en rojo), donde los puntos X\in A tienen coordenada z=1 (color ocre), mientras que los puntos del cuadrado X\notin A tienen coordenada z=0 (rojos).
Para otros usos de este término, véase Función indicatriz (desambiguación).

En matemáticas, la función indicatriz o función característica es una función definida en un conjunto \ X que indica la pertenencia de un elemento en el subconjunto \ A de \ X, teniendo el valor 1 para todos los elementos de \ A y el valor 0 para todos los elementos de \ X no incluidos en \ A.

Definición

La función indicatriz del subconjunto \ A del conjunto \ X es una función

\mathbf{1}_A : X \to \{ 0,1 \} \,

definida como

\mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 &\text{si } x \in A, \\ 0 &\text{si } x \notin A. \end{cases}

El corchete de Iverson permite una notación equivalente, [x \in A], que se puede usar en lugar de \mathbf{1}_A(x).

La función \mathbf{1}_A en ocasiones se expresa \chi_A\! o \mathbf{I}_A\! o incluso A\!. (La letra \chi\! se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego.)

Propiedades básicas

La functión indicatriz o característica de un subconjunto A\! de un conjunto X\!, asocia elementos de X\! al conjunto \{0,1\}\!.

La correspondencia es sobreyectiva solo cuando A es un subconjunto propio de X\!. Si A \equiv X\!, entonces \mathbf{1}_{A} = 1. Por un argumento similar, si A \equiv \varnothing entonces \mathbf{1}_{A} = 0.

En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "\cap " y "\cup" son intersección y unión respectivamente.

Si A\! y B\! son dos subconjuntos de X\!, entonces

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,\,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,

y la función indicatriz del complemento A\! i.e. A^C\! es:

\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A.

Más generalmente, supongamos que A_1, \ldots, A_n es una colección de subconjuntos de X\!. Para todo x \in X,

\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

es claramente un producto de 0s y 1s. Este producto vale 1 precisamente para los x \in X que no pertenecen a ninguno de los conjuntos A_k\! y 0 en caso contrario. Esto es,

\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Expandiendo el producto del lado izquierdo,

\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}

donde |F|\! es la cardinalidad de F\!. Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria. La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si X\! es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad \mathbb{P} y A\! es un conjunto medible, entonces \mathbf{1}_A se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de A\!:

\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbb{P} = \int_{A} d\mathbb{P} = \operatorname{P}(A).\quad

Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.

En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.


Véase también


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