- Grado de extensión de un cuerpo
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Contenido
Extensión de un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo.
Dada una extensión de cuerpos L:K, podemos pensar en L como en un espacio vectorial sobre el cuerpo K: en efecto, por definición de cuerpo, (L, + ) es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares como una restricción a del producto en . De esta forma es inmediato que se cumple que:
- ,
- ,
- ,
- ,
cualesquiera que sean y . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en L y a que , la tercera se debe a que el producto es asociativo en L, y la cuarta se debe a que K es subcuerpo de L, por lo que el elemento unidad de L es el elemento unidad de K.
Definición del grado de una extensión.
Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de L como espacio vectorial sobre K, denotado por dimK(L). Se denomina grado de la extensión L:K a la dimensión de L como K-espacio vectorial: [L:K] = dimK(L).
Teorema de transitividad del grado.
Sea L una extensión de K, y sea E un subcuerpo de L que es a su vez extensión de K. Entonces se cumple que [L:K] = [L:E][E:K].
Demostración:
Sea una base del E-espacio vectorial L (es decir, consideramos L como un espacio vectorial sobre el cuerpo E, y obtenemos una base) y una base del K-espacio vectorial E. Sea un elemento arbitrario. Existirá una única combinación lineal (que será finita, nosotros consideramos aquí que los coeficientes de la combinación lineal son eventualmente nulos) de tal manera que , siendo cada . De la misma forma, existirá una única combinación lineal (cuyos coeficientes serán eventualmente nulos) de tal manera que tenemos que para cada es , siendo cada .
.
Esto demuestra que es un sistema generador del K-espacio vectorial L.
Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal . Como es base del E-espacio vectorial L y cualquiera que sea el , tenemos que ha de ocurrir que en cada sea . Ahora bien, como es base del K-espacio vectorial E, entonces ha de ser bi,j = 0, cualesquiera que sean el y el . Así pues, es una familia libre del K-espacio vectorial L, con lo cual es una base de L como K-espacio vectorial, y su cardinal es .
Extensiones algebraicas y trascendentes.
El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.
- Si una extensión L:K es trascendente, existirá al menos un de manera que α sea un elemento trascendente sobre K. Así pues, , luego . Pero como (por ser α trascendente sobre K), y por otro lado (con lo que ) y , resulta que .
Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.
- Si [L:K] = 1, será entonces L = K. Si tomamos un elemento que sea algebraico sobre K, entronces existirá un polinomio mónico irreducible de manera que . Si deg(p) = n, entonces {1 + (p),x + (p),...,xn − 1 + (p)} es una base de , con lo cual .
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