Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Contenido

Intuición geométrica

El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}.

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}. Si f es continua en c \in (a,b), entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt}=f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables


Demostración

Lema

Sea [[f]] integrable sobre [a,b] y

m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]

Entonces

m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Demostración

Por definición se tiene que F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }.

Sea h>0. Entonces F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}.

Se define mh y Mh como:

m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\},
M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

Aplicando el 'lema' se observa que

m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h.

Por lo tanto,

m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h

Sea h < 0. Sean

{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \},
{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}.

Aplicando el 'lema' se observa que

{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) .

Como

F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt},

entonces,

{m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h.

Puesto que h < 0, se tiene que

{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h.

Y como f es continua en c se tiene que

\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c),

y esto lleva a que

F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c).

Ejemplos

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2
G(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad G'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3
H(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad H'(x) = \arcsin(x^2) 2x
I(x) = \int_{a}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad I'(x) = \arcsin(x^2) 2x
J(x) = \int_{a}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

Segundo teorema fundamental del cálculo

También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton-Leibniz.

Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f, es decir g'(x)=f(x) para todo x \in [a,b], entonces:

\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)

Este teorema se usa frecuentemente para evaluar integrales definidas.

Demostración

Sea

F(x)= \int_a^x f(t)dt .

Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:

F'(x)=f(x)=g'(x) {\ } \forall x \in [a,b].

Por lo tanto,

\exists c \in \mathbb{R} {\ } tal que \forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c.

Observamos que

0=F(a)=g(a)+c \,

y de eso se sigue que c=-g(a) \,; por lo tanto,

F(x) = g(x) - g(a) \,.

Y en particular si x = b tenemos que:

\int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a)

Ejemplos

\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0
\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1

Como se puede integrar inmediatamente.

Véase también

Referencias

Enlaces externos


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