Derivación de funciones trigonométricas

Derivación de funciones trigonométricas

Derivación de funciones trigonométricas

Función Derivada
sin(x) cos(x)
cos(x) − sin(x)
tan(x) sec2(x)
cot(x) − csc2(x)
sec(x) sec(x)tan(x)
csc(x) − csc(x)cot(x)

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Por tanto si f(x) = sin(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Reordenando los términos y el límite se obtiene

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

f'(x)=\cos(x) \,

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}

Operando se obtiene

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

f'(x)=-\sin(x) \,

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x), se puede escribir como

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

y h(x) ≠ 0, entonces la regla dice que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

A partir de la identidad trigonométrica

\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}

haciendo

g(x) = sin(x) g'(x) = cos(x)
h(x) = cos(x) h'(x) = − sin(x)

sustituyendo resulta

f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}

operando

f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}

y aplicando las identidades trigonométricas

cos2(x) + sin2(x) = 1 \sec(x)=\frac{1}{cos^2(x)}

resulta

f'(x) = sec2(x)
Obtenido de "Derivaci%C3%B3n de funciones trigonom%C3%A9tricas"

Wikimedia foundation. 2010.

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