Función elemental

Función elemental

En matemáticas, una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de exponenciales, logaritmos, constantes, variables, y raíces de ecuaciones mediante composición y combinaciones utilizando las cuatro operaciones elementales (+ – × ÷). Las funciones trigonométricas y sus inversas son consideradas dentro del grupo de funciones elementales ya que se pueden obtener mediante el uso de variables complejas y sus relaciones entre las funciones trigonométricas y las funciones exponencial y logaritmo.

Las funciones elementales son un subconjunto de las funciones especiales.

Contenido

Ejemplos

Un ejemplo de función elemental es el siguiente:

F(x) := \frac{e^{\tan(x)}}{1-x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\,\right)

Esta función es elemental ya que puede obtenerse recursivamente a partir de combinaciones de funciones claramente elementales:

f_1(x) = \tan(x)\,
f_2(x) = e^x\,
f_3(x) = x^2\,
f_4(x) = \ln(x)\,
f_5(x) = \sqrt{x}\,
f_6(x) = \sin(x)\,

En el siguiente orden:

  1. g_1(x) = f_1(x) = \tan(x) \quad \rightarrow \quad g_2(x) = (f_2\circ f_1)(x) = e^{\tan(x)}\,,
  2. g_3(x)= \frac{g_2(x)}{1-f_3(x)} = \frac{(f_2\circ f_1)(x)}{1-f_3(x)} = \frac{e^{\tan(x)}}{1-x^2}
  3. h_1(x)= f_4(x) \quad \rightarrow \quad h_2(x) = f_3(h_1(x)) = (f_3\circ f_4)(x) = \ln^2 x
  4. h_3(x)= 1+ h_2(x) = 1 + \ln^2 x \quad \rightarrow \quad h_4(x) = f_5(h_3(x)) = \sqrt{1+\ln^2 x}
  5. h_5(x)= f_6(h_4(x)) = (f_6\circ h_4)(x) = \sin(\sqrt{1+\ln^2 x})
  6. F(x)= g_3(x)\cdot h_5(x)

Otro ejemplo curioso de función elemental es el siguiente:

\,\ln(-x^2).

El dominio de esta última función no incluye ningún número real.


Un ejemplo de una función que no es elemental es la función error:

\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt,

hecho que no puede ser reconocido a simple vista a partir de la definición de la función elemental pero que se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch.

El concepto de funciones elementales fue desarrollado por Joseph Liouville en una serie de trabajos entre 1833 y 1841. Durante la década de 1930 Joseph Fels Ritt fue pionero en el tratamiento algebraico de las funciones elementales.

Álgebra diferencial

En el contexto del álgebra diferencial se define matematicamente una función elemental, o una función expresada en forma elemental. Un álgebra diferencial es un álgebra sobre un cuerpo con la operación adicional de derivada (versión algebraica de la diferenciación). Utilizando la operación derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones pueden ser usadas en extensiones de cuerpos del álgebra. Las funciones elementales son una extensión de las funciones racionales, se pueden añadir dos tipos de extensiones trascendentales (los logaritmos y las exponenciales).

Un cuerpo diferenciable F es un campo F0 (las funciones racionales sobre los números racionales, por ejemplo) en el que se ha definido una aplicación de diferenciación u → ∂u (donde ∂u es una nueva función, de tal manera que para dos elementos del campo F0, la operación de diferenciación es lineal:

\partial (u + v) = \partial u + \partial v

y satisface la regla del producto:

\partial(u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot\partial v\,.

Un elemento h es una constante si ∂h = 0. Una función u de extensión diferencial F[u] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u

  • es algebraica en F, o
  • es una exponencial, que es, ∂u = u ∂a para a ∈ F, o
  • es un logaritmo, que es, ∂u = ∂a / a para a ∈ F.

(esto es el ).

Referencias

  • Maxwell Rosenlicht (1972). «Integration in finite terms». American Mathematical Monthly 79:  pp. 963–972. 
  • Joseph Ritt, Differential Algebra, AMS, 1950.

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