Geometría convexa

Geometría convexa

La geometría convexa es la rama de la geometría que estudia sistemas convexos, principalmente en espacio euclidiano. Los sistemas convexos ocurren naturalmente en muchas áreas de la matemática: la geometría de cómputo, el análisis convexo, la geometría discreta, el análisis funcional, la geometría de números, la geometría integral, la programación lineal, y la teoría de las probabilidades. Según la American Mathematical Society en la clasificación 2000, los ramas importantes de disciplina matemática en la geometría convexa y discreta son: Convexidad general, politopos y poliedros, geometría discreta.

Nota histórica

La geometría convexa es una disciplina matemática relativamente joven. Aunque las primeras contribuciones conocidas datan de la antigüedad y se pueden remontar a los trabajos de Euclídes y de Arquímedes, se convirtió en un rama independiente de las matemáticas al final del siglo XIX, principalmente debido a los trabajos de Hermann Brunn y de Hermann Minkowski en dos y tres dimensiones. Una gran parte de sus resultados rápidamente fue generalizada a los espacios de grandes dimensiones, y en 1934 T. Bonnesen y W. Fenchel dieron un examen comprensivo de la geometría convexa en el espacio euclidiano Rn. El desarrollo adicional de la geometría convexa en el siglo XX y sus relaciones con varias disciplinas matemáticas se resumen en el manual de geometría convexa corregido de P. M. Gruber y J. M. Wills.

Clasificación

Clasificación adicional de los resultados generales de la convexidad en la lista siguiente:

  • convexidad axiomática y generalizada
  • sistemas convexos sin restricciones de la dimensión
  • sistemas convexos en espacios topológicos vectoriales
  • sistemas convexos en 2 dimensiones (incluyendo curvas convexas)
  • sistemas convexos en 3 dimensiones (incluyendo superficies convexas)
  • sistemas convexos en n dimensiones (incluyendo hypersuperficies convexas)
  • espacios finito-dimensionales de Banach
  • sistemas aleatorios convexos y geometría integral
  • aproximación por sistemas convexos
  • variantes de los sistemas convexos (formación-estrella, (m, n) - convexo, etc.)
  • Teoremas tipo Helly y teoría transversal geométrica
  • otros problemas de la convexidad combinatorial
  • longitud, área, volumen
  • volúmenes mezclados y asuntos relacionados
  • desigualdades y problemas extremum
  • funciones convexas y programas convexos
  • convexidad esférica e hiperbólica

La frase geometría convexa también se utiliza en combinatorios como el nombre para un modelo abstracto de los sistemas convexos basados en antimatroids.


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