- Matriz de Gram
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En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores
en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por Gij = (vi | vj). Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.Contenido
Propiedades
Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:
- Es hermítica
En en caso que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.
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- gij = gji
- Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
- Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:
Aplicaciones
Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.
Determinante de Gram
El determinante de Gram o gramiano
de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n2 productos escalares formados con esos vectores:
Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).
Ejemplos
Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un editar] Enlaces externos
- Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. http://www.jyi.org/volumes/volume2/issue1/articles/barth.html.
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