Matriz de Gram

En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores $v_1,\dots, v_n$ en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por $G i j = (v i | v j)$ . Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.

Contenido

1 Propiedades
2 Aplicaciones
3 Determinante de Gram
4 Ejemplos
5 Enlaces externos

Propiedades

Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades:

Es hermítica

$g_{ij}=g_{ji}^{*}$

En en caso que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.

g i j = g j i

Es una matriz semidefinida positiva, y todas las matrices semidefinidas positivas son la matriz de Gram de algún conjunto de vectores. Dicho conjunto de vectores generalmente no es único: la matriz de Gram de cualquier base ortonormal es una matriz identidad. La analogía de dimensión infinita de este teorema es el Teorema de Mercer.
Los determinantes de los menores principales son todos positivos. Es decir:

$|G_i|>0 \quad i=1,\dots ,n; \text{ siendo } G_i=\begin{pmatrix} g_{11} & \cdots & g_{1i} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ g_{i1} & \cdots & g_{ii} \\ \end{pmatrix}$

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.

Determinante de Gram

El determinante de Gram o gramiano $\scriptstyle G(x_1,\dots, x_n)$ de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n² productos escalares formados con esos vectores:

$G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}$

Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores. En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).

Ejemplos

Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un editar] Enlaces externos

Barth, Nils (1999). «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators 2. http://www.jyi.org/volumes/volume2/issue1/articles/barth.html.

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